空面反輻射導(dǎo)彈可觀測性增強(qiáng)的彈道規(guī)劃方法

　　摘 要：由于導(dǎo)引體制和空間布局上的約束，反輻射導(dǎo)彈被動雷達(dá)導(dǎo)引頭僅能輸出相對目標(biāo)的方位角度信息，一般無法閉合制導(dǎo)律的計(jì)算，同時(shí)考慮抗目標(biāo)雷達(dá)關(guān)機(jī)的基本功能需求，開展反輻射導(dǎo)彈被動目標(biāo)定位問題的關(guān)鍵技術(shù)研究。首先對被動目標(biāo)定位問題進(jìn)行了三維建模，定量分析了系統(tǒng)的可觀測性，在此基礎(chǔ)上，提出了一種導(dǎo)彈可觀測性增強(qiáng)的彈道規(guī)劃方法，并通過仿真校驗(yàn)，給出了典型非線性濾波器的選取分析?？捎^測性分析表明制導(dǎo)上彈道的過早、過快的收斂并不利于導(dǎo)彈對目標(biāo)的定位，控制上需要采取主動干涉彈道的措施，促進(jìn)被動目標(biāo)定位濾波器的收斂，同時(shí)運(yùn)用克拉美-羅下界分析目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的精度上限，并通過定義相應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行控制優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過對三種典型非線性濾波器的比較可知，擴(kuò)展卡爾曼濾波器適用于被動目標(biāo)定位問題，在計(jì)算量方面具有彈上的可行性，綜合濾波性能較好。

　　本文源自戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù) 發(fā)表時(shí)間：2021-03-23 《戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)》(雙月刊)創(chuàng)刊于1980年，是由中國航天科工集團(tuán)第三研究院主辦、航天導(dǎo)彈總體專業(yè)信息網(wǎng)協(xié)辦，是為導(dǎo)彈的研究、設(shè)計(jì)、制造、試驗(yàn)、使用服務(wù)的綜合性學(xué)術(shù)技術(shù)類刊物。主要欄目：總體技術(shù)、制導(dǎo)與控制技術(shù)、推進(jìn)技術(shù)、計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)。

　　關(guān)鍵詞：反輻射導(dǎo)彈;制導(dǎo);被動目標(biāo)定位;可觀測性分析;擴(kuò)展卡爾曼濾波;彈道規(guī)劃

　　1 引 言

　　由于導(dǎo)引體制上的固有特性，反輻射導(dǎo)彈所采用的被動雷達(dá)導(dǎo)引頭無法輸出用于閉合制導(dǎo)計(jì)算的視線角速度、失調(diào)角，彈目距離等信息，而僅能輸出相對于目標(biāo)的兩個(gè)視線角。在這種情況下，目標(biāo)信息也只能從這兩個(gè)角度中提取，因此，上述問題屬于純方位目標(biāo)定位問題或被動目標(biāo)定位問題的研究范疇[1-8]。被動目標(biāo)定位問題雖然可以用一些新型的方法解決或分析[9-11]，但本質(zhì)上仍然是一個(gè)非線性濾波問題[3，7]。

　　對于純方位目標(biāo)跟蹤問題，Stamfield 估計(jì)法和偽線性估計(jì)法是最常見的兩種基于最小二乘的定位算法[12]，算法易于實(shí)現(xiàn)，但缺點(diǎn)是有偏估計(jì)，因此出現(xiàn)了如輔助變量法、約束最小方差法和總最小方差法等一些消除偏差的算法[13]。文獻(xiàn)[14] 分析了擴(kuò)展 Kalman 濾波在純方位目標(biāo)跟蹤中的性能。文獻(xiàn) [15] 提出了基于距離參數(shù)化的均方根容積Kalman 濾波算法。文獻(xiàn) [16] 給出了一種高斯和容積Kalman濾波純方位跟蹤算法。上述文獻(xiàn)重點(diǎn)研究純方位量測情況下的目標(biāo)定位算法，并未考慮到反輻射導(dǎo)彈這一類僅能測角的制導(dǎo)武器的特點(diǎn)，對于制導(dǎo)武器，除了要完成對目標(biāo)位置的估計(jì)，還需要控制彈體向著減少瞬時(shí)脫靶量或視線角速度的方向上運(yùn)動，從而完成對目標(biāo)打擊的實(shí)際需求。而控制彈體運(yùn)動減少視線角速度會降低導(dǎo)彈對目標(biāo)可觀測性，影響估計(jì)性能，并最終影響目標(biāo)打擊效果。在僅有角度測量的條件下，系統(tǒng)可觀測性的強(qiáng)弱與導(dǎo)彈飛行彈道緊密相關(guān)，合理的彈道規(guī)劃可以提高系統(tǒng)的可觀測性。

　　本文主要研究反輻射導(dǎo)彈打擊地面雷達(dá)目標(biāo)時(shí)，被動定位的可觀測性、最優(yōu)彈道規(guī)劃和濾波方法選取等關(guān)鍵技術(shù)，從而為反輻射導(dǎo)彈純方位量測情況下的目標(biāo)打擊提供關(guān)鍵技術(shù)支撐。在可觀測性分析的基礎(chǔ)上，提出導(dǎo)彈可觀測性增強(qiáng)的彈道規(guī)劃方法，用于進(jìn)一步提升濾波器的收斂性能。

　　2 被動目標(biāo)定位問題建模

　　三維彈目相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示，被動雷達(dá)導(dǎo)引頭僅能提供視線高低角θ和視線方位角ψ。根據(jù)反輻射導(dǎo)彈的典型目標(biāo)特性和彈道特性，以及正常的作戰(zhàn)使用，θ，ψ ∈ ( - π 2，π 2)，通常應(yīng)在一個(gè)更小的范圍內(nèi)。如圖 1 所示，反輻射導(dǎo)彈和目標(biāo)的坐標(biāo)分別為( xm，ym，zm )和( xt ，yt ，zt )，建立導(dǎo)彈、目標(biāo)與視線角之間的幾何關(guān)系為：

　　ψ = arctan ( z(t) x(t) ) θ = arctan ( y (t) x2 (t) + z 2 (t) ) (1)其中，x = xt - xm，y = yt - ym，z = zt - zm 表示彈目相對距離。

　　考慮反輻射導(dǎo)彈典型目標(biāo)靜止或可以當(dāng)作靜止目標(biāo)處理的情況，建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： X? = 0 ⋅ X + B(t)u(t) (2)其中，X = x(t) = xt (t) - xm (t) 為彈目相對位置向量，B(t) = -I 3 × 3 是負(fù)的單位陣，u(t) = vm (t) 是導(dǎo)彈的速度向量。由于目標(biāo)靜止，vt (t) = 03 × 1 ，從而 x ? (t) = -vm (t)。

　　在直角坐標(biāo)系下，反輻射導(dǎo)彈被動目標(biāo)定位問題采用系統(tǒng)方程式 (1) 和量測方程式 (2) 建模，由此可見被動目標(biāo)定位問題是一個(gè)狀態(tài)方程為線性，量測方程為非線性的非線性系統(tǒng)。

　　3 可觀測性分析

　　由于誤差只影響系統(tǒng)解的精確程度，并不影響該解的存在唯一性，因此在系統(tǒng)可觀測性分析時(shí)可不考慮誤差的影響。利用系統(tǒng)可觀測的秩判據(jù)進(jìn)行可觀測性分析。定義：N = [ n0 (t) n1 (t) ? ni - 1 (t)] T (3)其中，ni - 1 (t) = d dt ni - 2 (t) + ni - 2 (t) ∂f ∂XT。對于本文的被動目標(biāo)定位問題，f表示量測方程部分。如果存在一個(gè)時(shí)刻，矩陣 N 滿秩，則該時(shí)刻系統(tǒng)是可觀測的。

　　由于空面反輻射導(dǎo)彈的典型目標(biāo)為固定目標(biāo)，式(1)和式(2)可進(jìn)一步表示為： ì í î ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï x? = -vx y? = -vy z? = -vz ψ = arctan ( z(t) x(t) ) θ = arctan ( y (t) x2 (t) + z 2 (t) )其中，vx，vy，vz是導(dǎo)彈在導(dǎo)航坐標(biāo)系的速度分量。利用式(4)，計(jì)算N陣如式(5)所示。 N = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê êê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú úú ú ú ú ú ú ú ú ú ú - 1 x 0 1 z - x x2 + z 2 1 y - z x2 + z 2 d dt (- 1 x ) 0 d dt ( 1 z ) d dt (- x x2 + z 2 ) d dt ( 1 y ) d dt (- z x2 + z 2 ) d2 dt 2 (- 1 x ) 0 d2 dt 2 ( 1 z ) d2 dt 2 (- x x2 + z 2 ) d2 dt 2 ( 1 y ) d2 dt 2 (- z x2 + z 2 ) (5)假設(shè)導(dǎo)彈速度大小變化不大，則 N 陣可簡化為： N = é ë ê ù û ú Nt 0 (6)其中， Nt = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú - 1 x 0 1 z - x x2 + z 2 1 y - z x2 + z 2 vx x2 0 - vz z 2 ( x2 - z 2 )vx + 2xzvz ( x2 + z 2 ) 2 - vy y2 2xzvx - ( x2 - z 2 )vz ( x2 + z 2 ) 2 (7)由式(7)得到N陣滿秩的條件為 vx x ≠ vz z z ≠ 0 (8)

　　由式 (8) 可知，系統(tǒng)可觀測的條件為反輻射導(dǎo)彈作方向不指向目標(biāo)的勻速直線運(yùn)動。這也就要求導(dǎo)彈在水平方向具有一定的位移，但由于導(dǎo)彈總是在減少脫靶量的方向上運(yùn)動，這一點(diǎn)可能與實(shí)際的控制效果相違背。而水平方向上導(dǎo)彈飛行彈道的過早、過快的收斂并不利于導(dǎo)彈對目標(biāo)的觀測和定位，控制上需要采取相應(yīng)的措施，進(jìn)行導(dǎo)彈飛行彈道的主動干涉，以提高系統(tǒng)的可觀測性，進(jìn)而提高被動定位濾波器的收斂速度。

　　4 可觀測性增強(qiáng)的彈道規(guī)劃

　　由于導(dǎo)引頭僅能提供相對目標(biāo)的方位指示信息，目標(biāo)信息或彈目距離無法根據(jù)這些信息直接重構(gòu)，因此無法閉合制導(dǎo)律的計(jì)算。正常情況下，制導(dǎo)律都會控制導(dǎo)彈向著彈道收斂的方向上運(yùn)動，這樣會造成導(dǎo)彈對目標(biāo)的可觀測性變差，如圖 2 所示的極端情況，導(dǎo)彈對視線上目標(biāo)的觀測量始終是一樣的，無法只通過角度來區(qū)分不同的目標(biāo)。

　　可觀測性變差使得目標(biāo)信息的估計(jì)精度也會越來越差，估計(jì)性能越差，制導(dǎo)性能也會越差?？梢?，制導(dǎo)方法和可觀測性之間存在著矛盾，越是先進(jìn)的制導(dǎo)方法，視線角速度的收斂速度一般越快，反而越不適用于反輻射導(dǎo)彈的制導(dǎo)[17-18]。因此，對于導(dǎo)引頭僅能提供相對目標(biāo)的方位指示信息的情況，需要綜合考慮制導(dǎo)律和濾波器的收斂性能。因此水平方向上，在濾波器收斂效果不理想時(shí)，在保證對目標(biāo)穩(wěn)定截獲的情況下，施加小幅的機(jī)動或控制，如圖 3 所示，通過主動改變彈道形狀的方式促進(jìn)濾波器的收斂。

　　定義 P 為典型濾波器的估計(jì)均方誤差矩陣，則式(9)的不等式成立。

　　P = E {(X - X?)(X - X?) T } ≥ P∗ = CRLB (9)其中，P∗ 為濾波器的估計(jì)均方誤差的性能極限矩陣 ， 稱 為 克 拉 美 - 羅 下 界 (Cramer-Rao lower bound，CRLB)，表示誤差的下限或精度的上限。由此可以認(rèn)為，濾波器每一步計(jì)算的估計(jì)誤差的均方差陣 P 反映了信息估計(jì)的誤差，因此可以據(jù)此定義相應(yīng)的性能指標(biāo)，并以主動干涉導(dǎo)彈飛行彈道的方式進(jìn)行控制優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而提高濾波器的收斂速度。由此，定義性能優(yōu)化指標(biāo)為： J = uT u + κ ⋅ tr(P) (10)其中，u 為導(dǎo)彈的控制量，tr () 為矩陣求跡運(yùn)算。

　　5 被動目標(biāo)定位濾波模型

　　5. 1 典型非線性濾波器

　　目前被廣泛研究的典型非線性濾波器包括粒子濾波器 (PF)、無跡卡爾曼濾波 (UKF) 和擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)等。

　　PF可以作為解決復(fù)雜非線性濾波問題的有效手段，不受模型的線性和高斯噪聲假設(shè)的約束，但PF同時(shí)也存在算法計(jì)算量過大，隨著時(shí)間的增加可能出現(xiàn)粒子退化的缺點(diǎn)。一般而言，UKF 算法相比于 EKF 算法在估計(jì)精度和收斂速度上存在優(yōu)勢，但在復(fù)雜性和計(jì)算量上存在劣勢，例如 UKF中在構(gòu)造每一個(gè)Sigma點(diǎn)時(shí)都需要實(shí)時(shí)計(jì)算估計(jì)均方誤差陣的平方根。

　　UKF 相對于 EKF 的優(yōu)勢是基于系統(tǒng)可觀、狀態(tài)模型和噪聲特性相對準(zhǔn)確的前提下，對于被動目標(biāo)定位問題，由于系統(tǒng)的可觀測性較弱，還需要通過仿真進(jìn)一步校驗(yàn)。

　　5. 2 被動目標(biāo)定位濾波模型

　　針對反輻射導(dǎo)彈典型目標(biāo)特性的情況，對式(4) 進(jìn)行離散化并加入系統(tǒng)誤差和量測誤差，可以得到：

　　ì í î ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú xk yk zk = é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú xk - 1 yk - 1 zk - 1 + (-I 3 × 3 ) é ë ê ê ù û ú ú vmx vmy vmz + wk - 1 ψ = arctan ( zk xk ) + v1k θ = arctan ( yk x2 k + z 2 k ) + v2k (11)由于導(dǎo)彈控制量改變了飛行速度在導(dǎo)航系下各個(gè)方向的分量，可將向量 u = [vmx vmy vmz] T 作為控制量。

　　PF算法和UKF算法可基于對應(yīng)的濾波原理進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。EKF 算法中量測方程的泰勒級數(shù)展開式為： Hk = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú - zk x2 k + z 2 k 0 xk x2 k + z 2 k - xk yk R x2 k + z 2 k x2 k + z 2 k R - xk zk R x2 k + z 2 k (12)其中，R = x2 k + y 2 k + z 2 k。

　　5. 3 三種非線性濾波器的仿真比較

　　針對有無主動控制輸入干涉和系統(tǒng)模型是否準(zhǔn)確的四種組合情況，進(jìn)行了EKF、UKF和PF的仿真比較。由可觀測性增強(qiáng)的彈道規(guī)劃結(jié)果，控制輸入會增強(qiáng)系統(tǒng)的可觀測性。系統(tǒng)狀態(tài)噪聲體現(xiàn)了系統(tǒng)建模的準(zhǔn)確程度，包括模型誤差和未建模系統(tǒng)特性。假設(shè)噪聲符合高斯分布的情況下，可以采用系統(tǒng)噪聲的方差陣 Q 來表示建模的準(zhǔn)確程度。仿真中，通過選取不同的 Q 值來表示模型的準(zhǔn)確程度，導(dǎo)引頭的測角噪聲為 17. 5 mrad (3σ)，PF的粒子數(shù)為200。

　　(1)準(zhǔn)確模型且存在控制輸入下的仿真

　　該情況下的目標(biāo)位置估計(jì)誤差如圖4所示。由圖4可知，三種濾波器的估計(jì)性能是基本相當(dāng)?shù)?，但PF的收斂速度最快。EKF濾波器并未因?yàn)樘├照归_近似而表現(xiàn)出性能的下降，且由于其計(jì)算量是三種濾波器中最小的，綜合性能最好。

　　(2)模型不準(zhǔn)確且存在控制輸入下的仿真

　　該種情況下的目標(biāo)位置估計(jì)誤差如圖5所示。從圖 5 中可以發(fā)現(xiàn)，由于模型準(zhǔn)確性下降，目標(biāo)位置的估計(jì)誤差有所增大;EKF 和 UKF 兩種非線性濾波器的估計(jì)性能是基本相當(dāng)?shù)?，而PF的估計(jì)性能有所下降，且整體效果較 EKF 和 UKF 要差。對于不準(zhǔn)確的被動定位系統(tǒng)模型，PF出現(xiàn)了一定程度的粒子退化現(xiàn)象，從而造成估計(jì)性能的下降。

　　(3)模型準(zhǔn)確且不存在控制輸入下的仿真

　　該種情況下的目標(biāo)位置估計(jì)誤差如圖6所示。從圖 6 中可以發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)位置的估計(jì)誤差相比于存在控制輸入情況下的精度要差，且收斂效果也較差，主要由于被動定位系統(tǒng)的弱觀測性造成，而有控制輸入的情況通過改變導(dǎo)彈的飛行彈道，可以增強(qiáng)對目標(biāo)的可觀測性，從而獲得更好的性能。

　　(4)模型不準(zhǔn)確且不存在控制輸入下的仿真

　　該種情況下的目標(biāo)位置估計(jì)誤差如圖7所示。從圖 7 中可以發(fā)現(xiàn)，由于模型不準(zhǔn)確且不存在增強(qiáng)可觀測性的控制輸入，該種情況是條件最差的情況，濾波結(jié)果也是最差的。提高模型的準(zhǔn)確程度和整個(gè)系統(tǒng)的可觀測性，是提高被動目標(biāo)定位濾波器的收斂速度和估計(jì)精度的重要手段。

　　(5)仿真結(jié)果分析

　　對于式 (4) 所示的被動目標(biāo)定位問題，UKF 算法并未表現(xiàn)出對 EKF 算法的明顯優(yōu)勢，二者估計(jì)精度和收斂速度是相當(dāng)?shù)?，而由于被動定位問題本身是可觀測性較差的，即使通過外部控制增強(qiáng)可觀測性，PF的性能優(yōu)勢也并不明顯。仿真結(jié)果也進(jìn)一步表明提高模型的準(zhǔn)確程度和整個(gè)系統(tǒng)的可觀測性，是提高被動目標(biāo)定位濾波器的收斂速度和估計(jì)精度的重要手段。

　　EKF 算法在計(jì)算量、估計(jì)精度和收斂速度等方面完全可以滿足導(dǎo)彈實(shí)際產(chǎn)品研制的需要，并且 EKF 算法在其它部分領(lǐng)域內(nèi)也已實(shí)現(xiàn)了工程上的應(yīng)用，這一點(diǎn)是PF和UKF等大計(jì)算量濾波器所未實(shí)現(xiàn)的。同時(shí)，式 (4) 所描述的被動定位問題，并不屬于復(fù)雜的非線性問題，采用 EKF 濾波方法完全可以勝任該問題的處理。

　　6 結(jié) 論

　　(1) 水平方向上彈道的過早、過快收斂并不利于反輻射導(dǎo)彈對目標(biāo)的定位，控制上需要采取相應(yīng)的措施，進(jìn)行飛行彈道的干涉，從而提高系統(tǒng)的可觀測性和被動定位濾波器的收斂速度;

　　(2) 在濾波器收斂效果不理想時(shí)，運(yùn)用CRLB 的表達(dá)式分析目標(biāo)任一時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)的精度上限，并定義相應(yīng)的指標(biāo)，以主動干涉導(dǎo)彈飛行彈道的方式進(jìn)行控制優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以提高濾波器的收斂速度;

　　(3) 典型的非線性濾波器在被動目標(biāo)定位上的濾波性能、計(jì)算量、工程應(yīng)用情況等方面的仿真比較和分析表明，EKF 可作為被動目標(biāo)定位的濾波方法，且具備彈上可實(shí)現(xiàn)性。