一、引言

2007年美國(guó)爆發(fā)的次貸危機(jī)，因其傳播速度快、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)、影響范圍廣、破壞性大，最終演變成全球性的金融危機(jī)，導(dǎo)致多數(shù)經(jīng)濟(jì)體停滯甚至衰退。這場(chǎng)危機(jī)引發(fā)的美國(guó)和世界主要證券市場(chǎng)劇烈波動(dòng)為1929年以來之最。本文應(yīng)用奇異點(diǎn)檢測(cè)的小波分析方法對(duì)美國(guó)證券市場(chǎng)進(jìn)行回朔剖析，以期對(duì)我國(guó)證券市場(chǎng)的穩(wěn)健發(fā)展起到警示和借鑒作用。小波分析從工程領(lǐng)域應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域引起反響與關(guān)注［1］(AntoniadisandOppenheim，1995)，近年來被逐漸運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)、金融數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)研究中。國(guó)內(nèi)外已有的研究成果顯示:小波方法可以去除股市數(shù)據(jù)中偶然因素引起的漲跌，凸顯影響股市漲跌的主要因素和宏觀突變的特點(diǎn)，表明小波分析在探討股市行為特別是奇異點(diǎn)檢測(cè)及宏觀股價(jià)走勢(shì)的預(yù)測(cè)上具有良好的應(yīng)用前景。目前，國(guó)外對(duì)金融時(shí)間序列變點(diǎn)研究的有:納森［2］(Nason，1996)討論了澳元對(duì)美元匯率的模擬數(shù)據(jù)，比較了“通用門限”法，“全門限”法等之優(yōu)缺點(diǎn)。瑞斯等［3］(Ramseyetal，1995)首先把小波分析應(yīng)用于金融市場(chǎng)，分析了標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)的波動(dòng)情況。王［4］(Wang，1995)使用小波分析，對(duì)美國(guó)1953年至1991年月度股票收益的奇異點(diǎn)進(jìn)行了研究，但沒有檢測(cè)出海灣戰(zhàn)爭(zhēng)這一重大事件。斯圖［5］(Struzikw，2001)認(rèn)為，小波可用來發(fā)現(xiàn)金融數(shù)據(jù)的異常點(diǎn)，他嘗試用小波變換極大模分析多重分形譜，確定了高頻時(shí)間序列定位尺度的特征。國(guó)內(nèi)的研究有:黃香，葉維彰等(1997)［6］使用樣條小波研究美元對(duì)德國(guó)馬克匯率數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)出了七國(guó)工業(yè)集團(tuán)和海灣戰(zhàn)爭(zhēng)的影響。朱洪俊等(2002)［7］采用離散小波變換的直接算法來檢測(cè)突變信號(hào)峰值奇異點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)突變信號(hào)峰值奇異點(diǎn)的準(zhǔn)確檢測(cè)和精確定位。王哲(1999)［8］等用墨西哥帽小波對(duì)上證和深證股價(jià)漲跌率，通過二進(jìn)小波變換多分辨分析，得出小波方法可以剔除股市偶然因素引起的漲跌，發(fā)現(xiàn)帶有普遍性漲跌的一般規(guī)律。2011年8月6日世界資本市場(chǎng)又經(jīng)歷了一場(chǎng)災(zāi)難性打擊。因世界三大評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)之一的標(biāo)準(zhǔn)普爾，將美國(guó)國(guó)債信用等級(jí)降為AA+，評(píng)級(jí)展望為負(fù)，美國(guó)首次失去AAA主權(quán)信用評(píng)級(jí)。受此影響全球投資者大規(guī)模恐慌，各國(guó)股市持續(xù)大跌。美國(guó)道瓊斯工業(yè)指數(shù)從11444．61點(diǎn)跌到10809點(diǎn)，歐洲股市直到8月14日仍在下跌。中國(guó)上證指數(shù)跌破2500點(diǎn)，創(chuàng)一年來新低。世界與中國(guó)經(jīng)歷的“標(biāo)普———美債降級(jí)風(fēng)暴”是次貸危機(jī)的延續(xù)，也是繼危機(jī)標(biāo)志性事件2009年雷曼兄弟破產(chǎn)后的“最大沖擊波”，對(duì)各國(guó)的股市和經(jīng)濟(jì)影響深遠(yuǎn)。標(biāo)志這場(chǎng)前所未有的世界危機(jī)仍將持續(xù)，終點(diǎn)仍無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。美國(guó)走上了向世界各國(guó)轉(zhuǎn)嫁危機(jī)損失之路。因此，觀測(cè)美國(guó)證券市場(chǎng)信號(hào)中的奇異點(diǎn)及不規(guī)則的突變部分，分析其中帶有的重要信息，有助于我們?cè)\斷美國(guó)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行故障，同時(shí)對(duì)本國(guó)經(jīng)濟(jì)將受到的影響作出提前反應(yīng)。本文主要基于小波變換模極大值方法，計(jì)算李普西茲指數(shù)，尋找美國(guó)次貸危機(jī)中的突變點(diǎn)及這些突變點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵事件，研究次貸危機(jī)前后美國(guó)證券市場(chǎng)主要特征、次貸危機(jī)對(duì)美國(guó)金融市場(chǎng)的影響以及美國(guó)金融市場(chǎng)異常對(duì)應(yīng)的美國(guó)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的重大特別事件。

二、突變點(diǎn)的小波檢測(cè)方法

時(shí)間序列中包含的信息主要體現(xiàn)在突變點(diǎn)或區(qū)域中。小波研究對(duì)象是信號(hào)，金融時(shí)間序列可以看做是金融信號(hào)。金融時(shí)間序列中的突變反映了市場(chǎng)異常波動(dòng)和狀態(tài)改變，并對(duì)應(yīng)著國(guó)內(nèi)重大事件對(duì)金融市場(chǎng)的沖擊及市場(chǎng)的反應(yīng)。在危機(jī)中，對(duì)應(yīng)著危機(jī)起源國(guó)家市場(chǎng)異常波動(dòng)及隨后的傳染溢出效應(yīng)。因此研究突變有以下用途:首先，檢測(cè)危機(jī)發(fā)源國(guó)金融市場(chǎng)的突變點(diǎn)和結(jié)構(gòu)變化，為危機(jī)前后建立變結(jié)構(gòu)模型提供依據(jù)，也使得建立相關(guān)預(yù)測(cè)系統(tǒng)成為可能。其次，分析危機(jī)中金融市場(chǎng)的異常狀態(tài)及結(jié)構(gòu)變化，有助于對(duì)其特征及變化機(jī)制進(jìn)行觀測(cè)，是進(jìn)一步研究這種特征對(duì)全球其他金融市場(chǎng)傳染的基礎(chǔ)。小波分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分解，研究不同尺度下的突變情況的原理是不同時(shí)間尺度對(duì)應(yīng)不同突變點(diǎn)，小尺度突變點(diǎn)多，大尺度突變點(diǎn)少，共同突變點(diǎn)說明這一時(shí)間突變強(qiáng)烈，反映了主要波動(dòng)的特征。因此分析這些突變點(diǎn)的影響因素，有助于揭示時(shí)間序列波動(dòng)的驅(qū)動(dòng)機(jī)制。一般用正則性刻畫函數(shù)的光滑程度，正則性越高，光滑性越好。信號(hào)在某點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)可微，則信號(hào)在該點(diǎn)或區(qū)間正則。反之，函數(shù)在某處間斷或?qū)?shù)不連續(xù)，則函數(shù)在該處奇異。奇異點(diǎn)分為兩類:①峰值點(diǎn)，指某一時(shí)刻幅值發(fā)生突變，引起信號(hào)非連續(xù)，相當(dāng)于在該處疊加了沖激信號(hào)，被稱為第一類型間斷點(diǎn)。②過零點(diǎn)，信號(hào)外觀光滑，幅值無突變，但一階微分有突變且不連續(xù)，被稱為第二類型間斷點(diǎn)。相當(dāng)于在該處疊加了階躍信號(hào)。兩類奇異點(diǎn)均可在小波變換中反映。小波變換一階導(dǎo)數(shù)dWfdt=0的點(diǎn)，是Wf()t的峰值點(diǎn);小波變換二階導(dǎo)數(shù)d2Wfdt2=0的點(diǎn)，是Wf()t的過零點(diǎn)。由拉氏變換可以推導(dǎo)出信號(hào)經(jīng)某一函數(shù)濾波后求K階導(dǎo)數(shù)等效于信號(hào)直接用該函數(shù)求K階導(dǎo)數(shù)后的小波濾波。

三、小波變換模極大值

通常用李普西茲指數(shù)α(縮寫L．E．α)，來度量函數(shù)的正則性。它刻畫了函數(shù)f與局部多項(xiàng)式的逼近程度。函數(shù)某點(diǎn)的李氏指數(shù)刻畫了該點(diǎn)的奇異性，α越大，該點(diǎn)的光滑度越高;反之，奇異性越大。傅里葉變換是研究信號(hào)奇異的基本工具，通過函數(shù)傅里葉變換的衰減(趨于零的快慢)來判斷奇異性強(qiáng)弱。缺點(diǎn)是只能給出信號(hào)在R上的均勻李氏指數(shù)，判斷整體奇異性，但不能確定奇異點(diǎn)在R上的分布及奇異性強(qiáng)弱。小波可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行局部分析，判斷奇異點(diǎn)位置及強(qiáng)弱。馬拉特等［8］(Mallat，1977，1992)最早研究了小波變換在信號(hào)奇異性檢測(cè)中的作用。小波變換模Wfs，()u在v領(lǐng)域中小尺度下的衰減性能夠刻畫函數(shù)f在點(diǎn)v的局部李氏正則性，但尺度—時(shí)間平面上直接計(jì)算任意點(diǎn)v在其領(lǐng)域中模Wfs，()u的衰減性的計(jì)算量極大，很難直接運(yùn)用于實(shí)際數(shù)值計(jì)算。Mallat，HWANG［10］給出了局部極大值可以控制Wfs，()u的衰減性的相關(guān)證明。如果小波變換Wfs，()u在小尺度上不存在局部模極大值，那么f一定是局部正則的。如果一個(gè)模極大值序列在小尺度上收斂于點(diǎn)v，則f在該點(diǎn)是奇異的。跟蹤小波變換模極大值曲線能找到所有奇異點(diǎn)，但模極大值點(diǎn)可能不在同一條極大曲線上，當(dāng)f是完全正則函數(shù)時(shí)，有可能其小波變換某個(gè)模極大值點(diǎn)列趨于橫坐標(biāo)。因此僅沿尺度搜索小波模極大點(diǎn)是不充分的，需要從模極大值的衰減判斷函數(shù)在該點(diǎn)的奇異性。