一、概念界定

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象了的東西。而這些抽象了的東西來源于現(xiàn)實(shí)世界，是被人抽象出來的。

1．抽象的含義

所謂抽象，通常是指從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征．而舍棄其非本質(zhì)特征的思維過程。要抽象就必須進(jìn)行比較，沒有比較就無法找到在本質(zhì)上共同的部分。

共同特征是指那些能把一類事物與他類事物區(qū)分開來的特征，又稱本質(zhì)特征。因此，抽取事物的共同特征就是抽取事物的本質(zhì)特征，舍棄非本質(zhì)的特征。而抽象的過程也是一個(gè)概括、分離和提純的過程。

2．?dāng)?shù)學(xué)抽象的含義及其作用

“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西州“，這個(gè)命題，從古至今，無論是數(shù)學(xué)家還是哲學(xué)家?guī)缀醵紱]有異議。數(shù)學(xué)抽象是一種特殊性的抽象，其特殊性表現(xiàn)為，數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象是“空問形式和數(shù)鍵關(guān)系”．不管是現(xiàn)實(shí)世界中的“數(shù)跫關(guān)系和空間形式”還是思維想象中的“數(shù)量關(guān)系和空間形式”，都屬于數(shù)學(xué)研究的范疇_1。也就是說，數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象既可以是現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也可以是數(shù)學(xué)思維中的空問形式和數(shù)昔關(guān)系。關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的作用，史寧中教授指出，真正的知識(shí)是來源于感性的經(jīng)驗(yàn)、通過直觀和抽象而得到的，并且。這種抽象是不能獨(dú)立于人的思維麗存在的-“。

在數(shù)學(xué)中．抽象是思維的基礎(chǔ)，只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認(rèn)識(shí)中獲得事物(事件或?qū)嵨?的本質(zhì)特征，從而上升到理性認(rèn)識(shí)。這既是一個(gè)獲取知識(shí)的過程．又是一個(gè)研究的過程．這個(gè)過程對(duì)于所有學(xué)科的學(xué)習(xí)都是非常重要的。

二、數(shù)學(xué)抽象的一般步驟

數(shù)學(xué)抽象具有不同的階段性。簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段、普適階段．是數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)基本階段㈠。簡(jiǎn)約階段．即把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡(jiǎn)單化、條理化，并能夠清晰地表達(dá)．，符號(hào)階段，即去掉具體的內(nèi)容．利用慨念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物住內(nèi)的一類事物。

普適階段，即通過假設(shè)和推理建移法則、模式或者模型。并能夠在一般的意義上解釋具體事物。

三、數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中．?dāng)?shù)學(xué)抽象具有鮮明的層次性，正如康德在他的巨著《純粹理性批劃》中所指出的，人類的一切知識(shí)都是從直脫開始，從那咀進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束“。學(xué)生的學(xué)習(xí)也足這樣．必須從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)開始，逐步過渡到數(shù)學(xué)的高級(jí)抽象。

教學(xué)層商的數(shù)學(xué)抽象基本遵循數(shù)學(xué)抽象的層次性，但有其更深刻而具體的表現(xiàn)，其梯瞧和層次性更強(qiáng)：

1．實(shí)物層面的抽象

這個(gè)層【蔚的抽象(過程)，實(shí)際一1-．是芷足已有的生活經(jīng)驗(yàn)和社會(huì)現(xiàn)實(shí)，進(jìn)行第一步抽象．即以實(shí)物為對(duì)象進(jìn)行抽象．到剛剛超越實(shí)物而尚未完全脫離實(shí)物即結(jié)束。

案例l小學(xué)自然數(shù)的“蔭位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”的“十位”的抽象：27+5=?借助于“十個(gè)雞蛋一盒”這個(gè)非常現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生已經(jīng)有相對(duì)豐富的類似經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)歷，27表示兩盒雞蛋．另有一盒不滿的雞蛋(即盒子里有7個(gè)雞蛋．這意味著空著3個(gè)窄位)，另有5個(gè)雞蛋。一共幾個(gè)雞蛋呢?借助生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很自然地將5個(gè)雞蛋中的3個(gè)拿出來．填補(bǔ)在第j盒雞蛋的3個(gè)宅位上．即將空位補(bǔ)齊，湊成一整盒，余下2個(gè)雞蛋。

這就是，將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而，結(jié)果是32，這是最樸素的“湊十進(jìn)位”，而這里的“一(整)盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實(shí)物”的直接抽象。

2．半符號(hào)層面的抽象

這個(gè)階段實(shí)際上是簡(jiǎn)約階段的一種．是建立在實(shí)物抽象的摹礎(chǔ)之上的進(jìn)一步發(fā)展。此時(shí)，有關(guān)的屬性已經(jīng)從實(shí)物中“提取”出來、抽象出來，仁l是．并沒有完全脫離實(shí)物，或者更確切地說．是部分屬性“脫離”了實(shí)物，而其中的關(guān)鍵屬性已經(jīng)初見端倪。

案例2“圓”的概念的抽象過程，就需要多個(gè)層面的抽象：初升的太陽(yáng)．十五的月亮、水中的波紋……都能給人以圓的形象，這是“圓”概念抽象的第一步．屬于實(shí)物商觀層面的第一次抽象；而從太陽(yáng)、月亮、波紋等具體的實(shí)物模型中，抽象出集中刻I毋J圓的形狀特點(diǎn)的一般概念．即幾何中圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”則是實(shí)物直觀層面的第二次抽象。

紙片研究網(wǎng)的摹本性質(zhì)．則是“圓”的半符號(hào)層面的抽象，屬于更高層斷的抽象，此時(shí)的“圓紙片”看得見、摸得著，已經(jīng)是具有鮮明的“圓”的特征。只不過，數(shù)學(xué)中的“網(wǎng)”是沒有厚度的，只是一個(gè)縫補(bǔ)曲線，其邊緣沒有厚度、不包括邊緣線所圍的區(qū)域。而這種東西在現(xiàn)實(shí)中并不存在。畢竟，數(shù)學(xué)中的“圓”是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)中的大量原型的抽象。

3．符號(hào)層面的抽象

即已經(jīng)去掉_r具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化r的事物在內(nèi)的一類事物。

符號(hào)層面的抽象具有典型的階段性、層次性，因而，有的學(xué)者(如徐利治先牛)將其定義為“抽象度”的概念“，即，從實(shí)物抽象開始，到達(dá)半符號(hào)抽象，進(jìn)而達(dá)到符號(hào)層面的抽象。而以后的抽象會(huì)以卜一級(jí)抽象的結(jié)果為對(duì)象．進(jìn)行進(jìn)一步的抽象．達(dá)到一個(gè)新的抽象高度。例如．在自然數(shù)抽象的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步抽象得到分?jǐn)?shù)．再抽象得到有理數(shù)．再抽象得到實(shí)數(shù)；以實(shí)數(shù)為對(duì)象再抽象．得到代數(shù)式，以代數(shù)式為對(duì)象的再抽象得到函數(shù)。如此，形成逐級(jí)抽象的概念體系。