模糊規(guī)則模型的粒度性能指標(biāo)評(píng)估方法

　　摘 要：模糊規(guī)則模型廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，而現(xiàn)有的模糊規(guī)則模型主要使用基于數(shù)值形式的性能評(píng)估指標(biāo)，忽略了對(duì)于模糊集合本身的評(píng)價(jià)，因此提出了一種模糊規(guī)則模型性能評(píng)估的新方法。該方法可以有效地評(píng)估模糊規(guī)則模型輸出結(jié)果的非數(shù)值(粒度)性質(zhì)。不同于通常使用的數(shù)值型性能指標(biāo)(比如均方誤差(MSE))，該方法通過(guò)信息粒的特征來(lái)表征模型輸出的粒度結(jié)果的質(zhì)量，并將該指標(biāo)使用在模糊模型的性能優(yōu)化中。信息粒性能采用(數(shù)據(jù)的)覆蓋率和(信息粒自身的)特異性?xún)蓚€(gè)基本指標(biāo)得以量化，并通過(guò)使用粒子群優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了粒度輸出質(zhì)量(表示為覆蓋率和特異性的乘積)的最大化。此外，該方法還優(yōu)化了模糊聚類(lèi)形成的信息粒的分布。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該指標(biāo)對(duì)于模糊規(guī)則模型性能評(píng)估的有效性。

　　關(guān)鍵詞：模糊規(guī)則模型;粒計(jì)算;覆蓋率;特異性;優(yōu)化;模糊聚類(lèi)

　　《計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)》(月刊)創(chuàng)刊于1980年，由中國(guó)航天科工集團(tuán)第二研究院706所主辦，是中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)會(huì)刊、北京計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)會(huì)刊和中國(guó)宇航學(xué)會(huì)會(huì)刊，是全國(guó)中文核心期刊、中國(guó)科技核心期刊。

　　0 引言

　　粒計(jì)算[1]是一種模擬人類(lèi)層次模糊認(rèn)知方式的智能方法，通過(guò)把復(fù)雜問(wèn)題抽象、劃分，從而更好地分析和解決問(wèn)題。作為粒計(jì)算中常見(jiàn)的一類(lèi)方法，模糊規(guī)則模型是在模糊理論下，使用模糊規(guī)則來(lái)描述系統(tǒng)輸入和輸出之間復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系并實(shí)現(xiàn)推理的方法[2]。模糊規(guī)則模型被認(rèn)為是一種用于處理信息粒的且具有良好結(jié)構(gòu)的框架，在此框架下能在一個(gè)系統(tǒng)中同時(shí)處理數(shù)值信息粒和語(yǔ)義信息粒。一般地，針對(duì)回歸問(wèn)題的模糊規(guī)則模型一般由數(shù)值型性能指標(biāo)(本文以“數(shù)值型性能指標(biāo)”指代均方誤差(Mean Squared Error， MSE)、均方根誤差(Root Mean Squared Error， RMSE)、平均絕對(duì)誤差(Mean Absolute Error， MAE)、R平方(Rsquared)等這一類(lèi)計(jì)算數(shù)值精度的評(píng)價(jià)指標(biāo))加以評(píng)價(jià)。這意味著，盡管模糊集是整個(gè)模型最為重要的組成部分，但最終模糊規(guī)則模型的輸出仍是數(shù)值的，并需要以此才能進(jìn)行模型性能的評(píng)估。因此，對(duì)于這類(lèi)模型，模糊集的優(yōu)勢(shì)則無(wú)法充分體現(xiàn)出來(lái)。特別是，在某些情況下，模糊規(guī)則模型的數(shù)值性能表現(xiàn)可能低于其他的一些數(shù)值模型，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，這是因?yàn)樵u(píng)估方法并沒(méi)有足夠公平地衡量模糊集的其他特性是導(dǎo)致該現(xiàn)象的重要因素。模糊集構(gòu)成模型的典型案例是曼達(dá)尼(Mamdani)模糊規(guī)則模型[3-4]。

　　該模型以規(guī)則的形式出現(xiàn)，其條件和結(jié)論部分分別由輸入和輸出空間中定義的模糊集描述。根據(jù)規(guī)則的結(jié)構(gòu)，這種模糊規(guī)則模型表現(xiàn)出顯著的可解釋性，參見(jiàn)文獻(xiàn)[5-6]，其模型的設(shè)計(jì)、評(píng)估和分析方案的研究[7-9]也取得了一定進(jìn)展。研究中發(fā)現(xiàn)，以數(shù)值型性能指標(biāo)的模型性能評(píng)價(jià)方式只能反映回歸模型的數(shù)值精度，而不能反映出模型的可解釋性和模型輸出的語(yǔ)義內(nèi)涵，因此成為這一評(píng)價(jià)方式的主要缺陷。近年來(lái)，特別是在人們普遍認(rèn)識(shí)到智能系統(tǒng)需要以人為中心的重要性的背景下，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注粒計(jì)算理論[10-15]并用于系統(tǒng)建模。模糊集作為粒計(jì)算中信息粒的一種重要的形式被廣泛地關(guān)注和研究。模糊建模的主要目標(biāo)不僅是模型的準(zhǔn)確性，而且還需要具有可解釋性和語(yǔ)義導(dǎo)向的透明度。而作為模糊規(guī)則模型的直接輸出，數(shù)值型性能指標(biāo)(如MSE)不能直接用于評(píng)價(jià)模糊集輸出的性能，而模糊集由于去模糊化過(guò)程中的信息損失，也不應(yīng)該簡(jiǎn)單地通過(guò)去模糊化形成的數(shù)值結(jié)果用數(shù)值型性能指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)。這就迫切地需要一種基于粒計(jì)算理論的視角進(jìn)行信息粒的性能評(píng)估。

　　本文主要聚焦于Mamdani類(lèi)型的模糊規(guī)則模型，首先，研究了如何在數(shù)值數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上構(gòu)建模糊規(guī)則模型，并基于合理的粒度原理(principle of justifiable granularity)[16]設(shè)計(jì)了一個(gè)新的模糊規(guī)則模型性能的粒度評(píng)估指標(biāo);然后，討論了以最大化該性能指標(biāo)為目標(biāo)的模型優(yōu)化方式。本文提供了一種評(píng)估模糊模型的新方法，即通過(guò)更加符合信息粒特征的視角，從模糊集合對(duì)于目標(biāo)信息的涵蓋程度和模糊集合本身的涵蓋范圍兩個(gè)維度對(duì)模糊集合進(jìn)行性能評(píng)估，從而一方面不失對(duì)于模型準(zhǔn)確性的評(píng)價(jià)，同時(shí)兼顧了模型的可解釋性和語(yǔ)義內(nèi)涵。

　　1 基于合理的粒度原則設(shè)計(jì)模糊規(guī)則模型

　　模糊集被用以表示規(guī)則的條件和結(jié)論部分的信息粒，在模糊規(guī)則模型中起著關(guān)鍵作用。就設(shè)計(jì)而言，模糊集的獲取主要有兩個(gè)途徑：專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)驅(qū)動(dòng)和數(shù)據(jù)知識(shí)驅(qū)動(dòng)。雖然模糊集可以通過(guò)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)確定(在低維輸入空間的情況下是可行的)，但是在高維輸入空間的情況下，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的建模方法更為有效。本文中的模糊規(guī)則模型旨在描述數(shù)據(jù)在輸入空間和輸出空間之間的非線(xiàn)性映射關(guān)系。該模型通常在監(jiān)督學(xué)習(xí)的模式下基于N對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)(xk， targetk)進(jìn)行建模，其中k=1，2，…，N，輸入xk位于輸入空間Rn中，而輸出targetk在輸出空間R中。該模型的規(guī)則結(jié)構(gòu)描述如下：

　　Rulei： If x isAithenyisBi; i=1， 2， …， c(1)

　　其中：x是模型的輸入，y是模糊規(guī)則的輸出，Ai 和Bi是分別用于描述輸入和輸出的隸屬度函數(shù)(模糊集)。

　　一種較為合適和常用的構(gòu)建模糊規(guī)則中模糊集合的方法是使用模糊聚類(lèi)，例如模糊C均值(Fuzzy CMeans， FCM)等相關(guān)方法[17-19]已廣泛應(yīng)用于分析輸入和輸出空間，利用聚合提取能夠語(yǔ)義化描述數(shù)據(jù)特征的信息粒，從而構(gòu)建模糊規(guī)則模型。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于能夠極大地提高數(shù)據(jù)到規(guī)則建模的可解釋性，為人與模型的交互提供基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)輸入輸出聯(lián)合空間中數(shù)據(jù)的聚類(lèi)，可以得到輸入數(shù)據(jù)的聚類(lèi)中心集合{v1， v2， …， vc}，以及輸出數(shù)據(jù)的聚類(lèi)中心集合{w1， w2， …， wc}。得到的聚類(lèi)中心形成隸屬度函數(shù)，從而建立模糊規(guī)則。模型中的規(guī)則數(shù)量與聚類(lèi)中心的數(shù)量c相同。規(guī)則中的模糊集Ai和Bi由下列隸屬度函數(shù)描述：

　　Ai(xk)=1∑cj=1‖xk-vi‖‖xk-vj‖2/(m-1)(2)

　　Bi(yk)=1∑cj=1yk-wiyk-wj2/(m-1)(3)

　　對(duì)于任意輸入xk，輸出的模糊集B計(jì)算如下：

　　B(ykxk)=∑ci=1A(xk)Bi(yk) (4)

　　基于FCM的模糊規(guī)則模型的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于非常簡(jiǎn)單和直接。聚類(lèi)中心和模糊集幾乎是自動(dòng)形成的，一旦構(gòu)造了模糊集并指定了去模糊化機(jī)制，就可以認(rèn)為建模過(guò)程已經(jīng)完成。模糊模型可能的優(yōu)化則與FCM方法的主要參數(shù)相關(guān)聯(lián)，即聚類(lèi)中心的數(shù)量c和模糊化系數(shù)m。一般認(rèn)為：較大數(shù)量的聚類(lèi)中心意味著更高的模型準(zhǔn)確性，但出于計(jì)算復(fù)雜度的考慮，聚類(lèi)中心的數(shù)量不應(yīng)該太高。模糊化系數(shù)m(m>1)可用于調(diào)節(jié)形成規(guī)則之間的適當(dāng)水平的相互作用： 雖然模糊化系數(shù)m的常用值是2，但該系數(shù)的調(diào)節(jié)有助于模型性能的進(jìn)一步的優(yōu)化; 當(dāng)模糊化系數(shù)值接近1時(shí)，隸屬度函數(shù)類(lèi)似于特征函數(shù)，在模型方面意味著輸入空間中的各個(gè)區(qū)域相對(duì)獨(dú)立地獲得輸出。隨著模糊化系數(shù)值的增加，規(guī)則傾向于更明顯的相互作用并可能有助于改進(jìn)輸出。

　　為了強(qiáng)調(diào)對(duì)于xk的輸出，這里將輸出簡(jiǎn)寫(xiě)為Bk。常見(jiàn)性能指標(biāo)以RMSE形式表示：

　　V=1N∑Nk=1(targetk-Dec(Bk))2(5)

　　其中Dec(B)表示產(chǎn)生單個(gè)數(shù)值的B的去模糊化運(yùn)算。通常Dec(B)可以考慮任何去模糊化方法，如重心法、最大隸屬度法、模態(tài)值法等，參見(jiàn)文獻(xiàn)[20-21]。然而，所有這些方法的共同特征是：通過(guò)去模糊化得到單個(gè)數(shù)值，因此，去模糊化使得模糊集B信息損失，所傳達(dá)的整體信息也在很大程度上被忽略且未被使用， 需要設(shè)計(jì)一種更加合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

　　2 粒度評(píng)價(jià)指標(biāo)及其優(yōu)化

　　在本章中，重點(diǎn)考慮了模糊模型輸出的粒度特征，設(shè)計(jì)并提出了一個(gè)粒度評(píng)價(jià)指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了模糊規(guī)則模型的優(yōu)化方法。

　　2.1 模糊規(guī)則模型性能的量化評(píng)估

　　為了更加合理地量化模糊集B形成的特征因素，本文采用一種更加有益的量化方法，即粒度的評(píng)估方法，用于衡量模糊集的信息粒輸出。在合理的粒度原理的指導(dǎo)下，文獻(xiàn)中常用覆蓋率(coverage)和特異性(specificity)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)估信息粒的性能[16，22]，本文以此為參照來(lái)設(shè)計(jì)模糊集輸出的評(píng)估指標(biāo)：

　　覆蓋率 通過(guò)計(jì)算隸屬度B(targetk)來(lái)表示目標(biāo)targetk在多少程度上被模糊集B覆蓋。隸屬度越高，則覆蓋率越高，說(shuō)明該數(shù)值樣本被模糊集輸出覆蓋的程度越好。覆蓋率性能指標(biāo)能夠充分包含數(shù)值型評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)于模型誤差的描述，同時(shí)避免了模糊集的信息損失。

　　特異性 用于計(jì)算該模糊集的獨(dú)特性，是否表現(xiàn)出清晰明確的語(yǔ)義。模型輸出的特異性越高說(shuō)明模糊集的語(yǔ)義越明確。特異性性能指標(biāo)能夠描述模糊集的語(yǔ)義廣度(范圍)，從而充分反映模糊集的語(yǔ)義性能，這一點(diǎn)是數(shù)值型評(píng)價(jià)指標(biāo)所不具備的能力。

　　評(píng)估指標(biāo)的詳細(xì)計(jì)算方法如下：

　　cov(targetk)=B(targetk|xk)(6)

　　本文中覆蓋率的意義對(duì)應(yīng)于數(shù)值樣本在模糊集中的隸屬度，而模糊集B的特異性描述的是模糊集的“尺寸”。為便于解釋?zhuān)疚氖紫瓤紤]區(qū)間形式的信息粒[a， b]，如圖1(a)所示，其特異性為1-(b-a)/range，其中range=ymax-ymin，ymax和ymin為輸出空間的極值。信息粒的區(qū)間越小，特異性越大。如果a=b，信息粒退化為一個(gè)數(shù)值點(diǎn)，其特異性也最大(最大值為1);如果信息粒覆蓋整個(gè)輸出空間，其特異性則最小(最小值為0)。對(duì)于模糊集，利用截集(αcut)進(jìn)行特異性的計(jì)算，如圖1(b)所示，即：sp(Bk)=∫αmax01-h(α)rangedα(7)

　　h(α)=max{y| B-1(y)=α}-

　　min{y| B-1(y)=α}(8)

　　其中αmax是最大隸屬度。在實(shí)際運(yùn)算中，式(7)中的積分項(xiàng)可以采用離散化的計(jì)算方法。對(duì)于多峰的隸屬度函數(shù)，考慮將多個(gè)截集長(zhǎng)度求和的方法進(jìn)行計(jì)算，如圖1(c)所示，即：

　　h(α)=length(Ω1) + length(Ω2)+

　　…+ length(Ωn)(9)

　　圖2展現(xiàn)了一個(gè)評(píng)估模糊集覆蓋率和特異性的案例。其中曲線(xiàn)表示模糊集，黑點(diǎn)表示目標(biāo)輸出數(shù)據(jù)。

　　整體的覆蓋率和特異性性能通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)的平均值得到，即：

　　cov=1N∑Nk=1cov(targetk)(10)

　　sp=1N∑Nk=1sp(Bk)(11)

　　為了評(píng)估信息粒(模糊集)輸出的整體質(zhì)量，本文采用覆蓋率和特異性乘積作為全局指標(biāo)。因此，信息粒B的整體性能指標(biāo)如下：

　　Q=cov·sp(12)

　　2.2 模糊規(guī)則模型的優(yōu)化

　　聚類(lèi)能夠揭示數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，然而模糊規(guī)則模型旨在刻畫(huà)輸入和輸出的內(nèi)在關(guān)系。基于FCM的模糊規(guī)則建模雖然可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)c和m優(yōu)化模型，但是這樣的調(diào)整也存在一定的片面性。聚類(lèi)過(guò)程是無(wú)方向的，因此不能完全支持有向的模糊規(guī)則建模。此外，F(xiàn)CM對(duì)于聚類(lèi)中心分布的平均效應(yīng)是不可避免的，這意味著模糊規(guī)則建模的輸出范圍可能會(huì)減小，從而產(chǎn)生一些額外的誤差。因此，本文采用了一種通過(guò)移動(dòng)調(diào)整輸入和輸出空間聚類(lèi)中心vi和wi位置的優(yōu)化方法提高模糊規(guī)則模型的性能。

　　基于群體智能的啟發(fā)式算法可以有效處理復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)和大范圍搜索空間的問(wèn)題，非常適合本研究問(wèn)題。其中，粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization， PSO)算法[23]由于其良好的效率和可用性，被應(yīng)用于許多類(lèi)似研究[11，24]中。在PSO中，粒子模仿群體活動(dòng)特征在搜索空間中搜索最優(yōu)解。粒子運(yùn)動(dòng)的速度取決于其自身和群整體的經(jīng)驗(yàn)。而速度決定粒子在下一步搜索中的位置。在每個(gè)搜索步驟t，使用以下兩個(gè)公式連續(xù)更新第i個(gè)粒子的速度u和位置l。

　　ut+1i=ωut+1i+δr1·(pbest-lti)+βr2·(gbest-lti)(13)

　　lt+1i=lti+ut+1i(14)

　　其中：pbest表示第i個(gè)粒子目前最優(yōu)的位置;gbest表示所有粒子中的最優(yōu)位置;ω是慣性權(quán)重因子;δ和β分別是個(gè)體認(rèn)知和群體社會(huì)常數(shù);r1和r2是在[0， 1]區(qū)間中均勻分布的隨機(jī)向量，以保證粒子搜索的隨機(jī)性。

　　優(yōu)化過(guò)程中，將輸入空間和輸出空間的聚類(lèi)中心組合成粒子l，使其在數(shù)據(jù)空間中的每個(gè)特征維度上進(jìn)行移動(dòng)調(diào)整，從而使得目標(biāo)函數(shù)Q達(dá)到最大。為了增加聚類(lèi)中心的適應(yīng)度，這里將每個(gè)維度的搜索空間進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯螅碵minj(1-γ)， maxj (1+γ)]，其中γ是一個(gè)正值的擴(kuò)張系數(shù)，minj和maxj表示第j維特征上的最大和最小值。

　　3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

　　本章通過(guò)實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)了所提優(yōu)化方案的性能，并將獲得的結(jié)果與僅通過(guò)使用FCM方法構(gòu)建的模糊模型獲得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在本文中，PSO優(yōu)化參數(shù)設(shè)置如下：種群大小設(shè)置為100，最大迭代次數(shù)設(shè)置為600。多次實(shí)驗(yàn)表明，這樣的參數(shù)設(shè)置足以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過(guò)程的收斂，并且超出這些值不會(huì)導(dǎo)致性能的明顯改善。擴(kuò)張系數(shù)的值設(shè)定為0.5， 慣性權(quán)重因子設(shè)定為1.1，而個(gè)體認(rèn)知和群體社會(huì)常數(shù)的值均等于1.49，這些參數(shù)值的選擇與文獻(xiàn)[25]中一致。

　　3.1 人工數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

　　本文采用一個(gè)常用的兩輸入非線(xiàn)性函數(shù)[26]：

　　y=(1+x-0.51+x-12)2(15)

　　其中：x1和x2是兩個(gè)獨(dú)立分布在笛卡爾積[1， 5]×[1， 5]上的變量。在其中隨機(jī)抽取900(30×30) 組數(shù)據(jù)，并劃分為70%的訓(xùn)練樣本和30%的測(cè)試樣本。模糊系數(shù)m設(shè)置為3個(gè)具有典型性的值1.05， 2.0， 3.0。

　　圖3顯示的是目標(biāo)函數(shù)值Q在優(yōu)化前后的變化，圖4繪制的是不同數(shù)量的聚類(lèi)中心生成的模型得到的覆蓋率和特異性的平均值。兩個(gè)圖中圓形表示聚類(lèi)中心優(yōu)化前的結(jié)果，而菱形則表示優(yōu)化后的結(jié)果。最淺的顏色表示聚類(lèi)中心數(shù)量為2建立的模糊規(guī)則模型(擁有2條模糊規(guī)則)，最深的顏色表示聚類(lèi)中心數(shù)量為10建立的模糊規(guī)則模型(擁有10條模糊規(guī)則)。

　　從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出，通常Q值隨著聚類(lèi)中心的數(shù)量增加而減小。可能的原因分析如下：隨著聚類(lèi)中心數(shù)量的增加，Ai和Bi的隸屬度值減小，則Ai和Bi的乘積也減小，因此覆蓋率隨之下降。同時(shí)，當(dāng)聚類(lèi)中心數(shù)量增加時(shí)，因?yàn)檩斎牒洼敵龅碾`屬函數(shù)越來(lái)越具體，隸屬度函數(shù)B的形狀尺寸縮小，因此，特異性的值增加。總體而言，覆蓋性對(duì)性能指標(biāo)Q的影響比特異性更強(qiáng)，因此Q值隨著聚類(lèi)數(shù)量的增加而減小。聚類(lèi)中心優(yōu)化后，當(dāng)模糊化系數(shù)較小(如1.05)時(shí)，Q值最大。在這種情況下，覆蓋率比特異性有更明顯的提高，這是由這種隸屬度函數(shù)的特征決定的。隸屬度通常從接近0變?yōu)榻咏?，并且聚類(lèi)中心的修改可能會(huì)移動(dòng)隸屬度函數(shù)中心的位置或合并其中一些隸屬度函數(shù)，因此很容易將一些目標(biāo)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的隸屬度從接近0提高到接近1，使得優(yōu)化后的覆蓋率顯著改善。然而，當(dāng)模糊化系數(shù)較高(比如3.0)時(shí)，目標(biāo)數(shù)據(jù)附近的隸屬度較為接近，通過(guò)優(yōu)化對(duì)于隸屬度的改變較少，因此覆蓋率的提高相對(duì)有限。總之，由于覆蓋率對(duì)總體性能指標(biāo)Q的影響更大，當(dāng)模糊化系數(shù)較小時(shí)，模型性能提高的幅度較大。

　　圖5繪制了聚類(lèi)中心在數(shù)據(jù)空間中優(yōu)化前后的位置變化， 從圖5中可以看出，聚類(lèi)中心在優(yōu)化前后有著明顯的變化。一些調(diào)整后的聚類(lèi)中心彼此靠近甚至趨于重疊。該結(jié)果與上面的結(jié)論一致，即可以通過(guò)重疊聚類(lèi)中心和聚合隸屬函數(shù)來(lái)提高覆蓋率。這一現(xiàn)象支持了在建模過(guò)程中減少聚類(lèi)中心及模糊規(guī)則數(shù)量的可能性，并借以消除一些冗余的規(guī)則。