1.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)中的重要意義

1.1有助于對代數(shù)概念的理解和認(rèn)識

線性代數(shù)中出現(xiàn)很多抽象的、學(xué)生以往沒有接觸過的概念，充分理解和掌握這些概念的含義對學(xué)好后繼課起著至關(guān)重要的作用。在課堂教學(xué)中，教師可以用幾何概念引出抽象的代數(shù)概念或以幾何概念為例闡述代數(shù)概念。這樣，學(xué)生不會認(rèn)為所學(xué)概念空洞、無味。事實上，線性代數(shù)中的很多概念是從空間解析幾何中推廣過來的，例如：n維向量，n維向量的夾角、距離，正交變換等。因此，線性代數(shù)的概念大多可以二維和三維空間為例來講解，這樣有助于學(xué)生了解概念存在的必要性，加深對概念的理解。

1.2有助于對代數(shù)知識的接受和掌握

在工科數(shù)學(xué)中，強調(diào)的是計算和應(yīng)用，往往忽略嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。對于沒有給出證明的代數(shù)結(jié)論，學(xué)生往往懷疑它的正確性，進而，影響他們對代數(shù)理論的應(yīng)用。為了避免此種情況的出現(xiàn)，以解析幾何為例來簡單地闡述代數(shù)結(jié)論的正確性。例如：線性方程組解的個數(shù)有三種情況，即無解，有無窮多解和有唯一解。課堂上教師很少嚴(yán)格去證明這個性質(zhì)。但是，可以通過平面上一些直線的公共點及空間中一些平面的公共點的個數(shù)，自然地引出一般線性方程組解的個數(shù)。這樣，學(xué)生不僅在一定程度上可以接受這個結(jié)論，而且對該結(jié)論有進一步的認(rèn)識，便于他們對結(jié)論的掌握和應(yīng)用。

1.3有助于將復(fù)雜的代數(shù)證明簡單化

線性代數(shù)理論的論證往往是符號的一個嚴(yán)格的邏輯推理過程，這對于初學(xué)者來說有一定的難度。但有時可以用簡單的幾何圖解論述抽象、復(fù)雜的代數(shù)理論，例如：三個向量共面的充要條件用幾何圖解即可證明。用幾何方法證明代數(shù)問題，既能規(guī)避代數(shù)推理的邏輯性要求，又能使證明更加形象化和立體化，從而在增強學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，讓學(xué)生了解解析幾何在線性代數(shù)中的作用，感知代數(shù)的數(shù)與幾何的形的完美結(jié)合。

1.4有助于培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法處理幾何問題的能力

線性代數(shù)的抽象性使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，經(jīng)常問這樣的問題：學(xué)這門課有什么用。對學(xué)過這門課的人來說，這已經(jīng)不是個問題了。但是，對于初學(xué)者來說，特別是大一的學(xué)生，這是需要解決的問題。因此，在講解完一個抽象的定理、命題后，盡可能多地介紹一些應(yīng)用，特別是在解析幾何方面的應(yīng)用是必要的。以解析幾何作為線性代數(shù)的應(yīng)用實例，既可以幫助學(xué)生鞏固已學(xué)的解析幾何知識，理解新學(xué)的線性代數(shù)知識，又可以在應(yīng)用中建立兩門課知識間的聯(lián)系，完善知識體系，將知識融會貫通。線性代數(shù)理論能夠解決很多幾何問題，如應(yīng)用線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論可研究平面的位置關(guān)系，直線和平面的位置關(guān)系；應(yīng)用二次型理論可以解決二次曲面的分類問題。教師可以提供給學(xué)生這些實例，讓學(xué)生學(xué)會用代數(shù)方法解決幾何問題。

2.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題

2.1不能通過沒學(xué)的或難于理解的知識講解新知識

將解析幾何融入到線性代數(shù)的教學(xué)中是目前普遍提倡的教學(xué)方法。但是，微積分和線性代數(shù)都是大學(xué)一年級的課，教師在使用解析幾何知識的時候，一定要考慮學(xué)生在微積分中是否已經(jīng)學(xué)到該知識點。如果通過學(xué)生還不了解的幾何知識去講解代數(shù)問題，那么不僅不利于學(xué)生對代數(shù)知識的理解和掌握，而且會影響學(xué)生對幾何知識學(xué)習(xí)的興趣。因此，教師授課前一定要了解學(xué)生當(dāng)前的知識水平，根據(jù)學(xué)生實際情況，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。

2.2教師對解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系要有深入地理解

將解析幾何融入到線性代數(shù)教學(xué)中需要一個重要的前提，就是要求教師對解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系有深入地理解。在高等院校，大部分教師都有自己的專業(yè)，講授線性代數(shù)課的教師不一定熟悉解析幾何知識，因而不一定能準(zhǔn)確地了解解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。在這種情況下，無法保障這種教學(xué)模式的有效實現(xiàn)，可以通過開放式課堂解決這個問題。在開放式課堂上，教師既可以通過學(xué)習(xí)解析幾何知識，理解解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，又可以通過與有經(jīng)驗的教師交流實現(xiàn)教學(xué)效果的提升。

2.3教師要與時俱進，掌握新技術(shù)、新方法

解析幾何是圖形的科學(xué)，因此有直觀性和形象性。為了更好地將解析幾何的這種特性滲透到線性代數(shù)教學(xué)中，需要教師繪制圖形以此闡述線性代數(shù)中定義、定理所要表達的含義。但是，一些立體幾何的模型，在普通條件下難以實現(xiàn)，而利用多媒體技術(shù)可以形象、直觀地將一些現(xiàn)象和性質(zhì)顯現(xiàn)出來。例如：二次曲面的命名是根據(jù)截面的形狀給出的，如果讓一個教師在課堂上手繪馬鞍面，講述截面形狀，難度很大，而利用多媒體技術(shù)，可以很輕松地完成這個教學(xué)。這說明將解析幾何融入到線性代數(shù)的教學(xué)中單靠傳統(tǒng)教學(xué)方式是不夠的，教師要與時俱進，掌握新技術(shù)、新方法，更有效地提高教學(xué)質(zhì)量。

2.4有效地將解析幾何與線性代數(shù)兩門課程合并

解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，促使一些高校將兩門課程融為一門新課——線性代數(shù)與解析幾何。兩門課程合并成一門課，會帶來很多問題。例如：如何安排知識點的先后順序；由于課時的限制，需要削減一部分教學(xué)內(nèi)容，那么削減哪些內(nèi)容；新課程是以線性代數(shù)為主還是以解析幾何為主；新課程與后繼課如何銜接等，這些問題都有待于教師在教學(xué)實踐中積累經(jīng)驗并加以解決。

本文從解析幾何的特點及其與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，提出了將解析幾何融入到線性代數(shù)教學(xué)中的教學(xué)模式，并論證了這種教學(xué)模式對線性代數(shù)教學(xué)的重要作用。而線性代數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，因此在教學(xué)中，不要把目光僅僅放在解析幾何上，要多角度地展現(xiàn)線性代數(shù)，以使教學(xué)生動而豐富多彩。

本文作者：王穎 單位：大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院