1.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)中的重要意義

1.1有助于對(duì)代數(shù)概念的理解和認(rèn)識(shí)

線性代數(shù)中出現(xiàn)很多抽象的、學(xué)生以往沒(méi)有接觸過(guò)的概念，充分理解和掌握這些概念的含義對(duì)學(xué)好后繼課起著至關(guān)重要的作用。在課堂教學(xué)中，教師可以用幾何概念引出抽象的代數(shù)概念或以幾何概念為例闡述代數(shù)概念。這樣，學(xué)生不會(huì)認(rèn)為所學(xué)概念空洞、無(wú)味。事實(shí)上，線性代數(shù)中的很多概念是從空間解析幾何中推廣過(guò)來(lái)的，例如：n維向量，n維向量的夾角、距離，正交變換等。因此，線性代數(shù)的概念大多可以二維和三維空間為例來(lái)講解，這樣有助于學(xué)生了解概念存在的必要性，加深對(duì)概念的理解。

1.2有助于對(duì)代數(shù)知識(shí)的接受和掌握

在工科數(shù)學(xué)中，強(qiáng)調(diào)的是計(jì)算和應(yīng)用，往往忽略嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。對(duì)于沒(méi)有給出證明的代數(shù)結(jié)論，學(xué)生往往懷疑它的正確性，進(jìn)而，影響他們對(duì)代數(shù)理論的應(yīng)用。為了避免此種情況的出現(xiàn)，以解析幾何為例來(lái)簡(jiǎn)單地闡述代數(shù)結(jié)論的正確性。例如：線性方程組解的個(gè)數(shù)有三種情況，即無(wú)解，有無(wú)窮多解和有唯一解。課堂上教師很少?lài)?yán)格去證明這個(gè)性質(zhì)。但是，可以通過(guò)平面上一些直線的公共點(diǎn)及空間中一些平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，自然地引出一般線性方程組解的個(gè)數(shù)。這樣，學(xué)生不僅在一定程度上可以接受這個(gè)結(jié)論，而且對(duì)該結(jié)論有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，便于他們對(duì)結(jié)論的掌握和應(yīng)用。

1.3有助于將復(fù)雜的代數(shù)證明簡(jiǎn)單化

線性代數(shù)理論的論證往往是符號(hào)的一個(gè)嚴(yán)格的邏輯推理過(guò)程，這對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)有一定的難度。但有時(shí)可以用簡(jiǎn)單的幾何圖解論述抽象、復(fù)雜的代數(shù)理論，例如：三個(gè)向量共面的充要條件用幾何圖解即可證明。用幾何方法證明代數(shù)問(wèn)題，既能規(guī)避代數(shù)推理的邏輯性要求，又能使證明更加形象化和立體化，從而在增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，讓學(xué)生了解解析幾何在線性代數(shù)中的作用，感知代數(shù)的數(shù)與幾何的形的完美結(jié)合。

1.4有助于培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的能力

線性代數(shù)的抽象性使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過(guò)程中，經(jīng)常問(wèn)這樣的問(wèn)題：學(xué)這門(mén)課有什么用。對(duì)學(xué)過(guò)這門(mén)課的人來(lái)說(shuō)，這已經(jīng)不是個(gè)問(wèn)題了。但是，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，特別是大一的學(xué)生，這是需要解決的問(wèn)題。因此，在講解完一個(gè)抽象的定理、命題后，盡可能多地介紹一些應(yīng)用，特別是在解析幾何方面的應(yīng)用是必要的。以解析幾何作為線性代數(shù)的應(yīng)用實(shí)例，既可以幫助學(xué)生鞏固已學(xué)的解析幾何知識(shí)，理解新學(xué)的線性代數(shù)知識(shí)，又可以在應(yīng)用中建立兩門(mén)課知識(shí)間的聯(lián)系，完善知識(shí)體系，將知識(shí)融會(huì)貫通。線性代數(shù)理論能夠解決很多幾何問(wèn)題，如應(yīng)用線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論可研究平面的位置關(guān)系，直線和平面的位置關(guān)系；應(yīng)用二次型理論可以解決二次曲面的分類(lèi)問(wèn)題。教師可以提供給學(xué)生這些實(shí)例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題。

2.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

2.1不能通過(guò)沒(méi)學(xué)的或難于理解的知識(shí)講解新知識(shí)

將解析幾何融入到線性代數(shù)的教學(xué)中是目前普遍提倡的教學(xué)方法。但是，微積分和線性代數(shù)都是大學(xué)一年級(jí)的課，教師在使用解析幾何知識(shí)的時(shí)候，一定要考慮學(xué)生在微積分中是否已經(jīng)學(xué)到該知識(shí)點(diǎn)。如果通過(guò)學(xué)生還不了解的幾何知識(shí)去講解代數(shù)問(wèn)題，那么不僅不利于學(xué)生對(duì)代數(shù)知識(shí)的理解和掌握，而且會(huì)影響學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣。因此，教師授課前一定要了解學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)水平，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。

2.2教師對(duì)解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系要有深入地理解

將解析幾何融入到線性代數(shù)教學(xué)中需要一個(gè)重要的前提，就是要求教師對(duì)解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系有深入地理解。在高等院校，大部分教師都有自己的專(zhuān)業(yè)，講授線性代數(shù)課的教師不一定熟悉解析幾何知識(shí)，因而不一定能準(zhǔn)確地了解解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。在這種情況下，無(wú)法保障這種教學(xué)模式的有效實(shí)現(xiàn)，可以通過(guò)開(kāi)放式課堂解決這個(gè)問(wèn)題。在開(kāi)放式課堂上，教師既可以通過(guò)學(xué)習(xí)解析幾何知識(shí)，理解解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，又可以通過(guò)與有經(jīng)驗(yàn)的教師交流實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的提升。

2.3教師要與時(shí)俱進(jìn)，掌握新技術(shù)、新方法

解析幾何是圖形的科學(xué)，因此有直觀性和形象性。為了更好地將解析幾何的這種特性滲透到線性代數(shù)教學(xué)中，需要教師繪制圖形以此闡述線性代數(shù)中定義、定理所要表達(dá)的含義。但是，一些立體幾何的模型，在普通條件下難以實(shí)現(xiàn)，而利用多媒體技術(shù)可以形象、直觀地將一些現(xiàn)象和性質(zhì)顯現(xiàn)出來(lái)。例如：二次曲面的命名是根據(jù)截面的形狀給出的，如果讓一個(gè)教師在課堂上手繪馬鞍面，講述截面形狀，難度很大，而利用多媒體技術(shù)，可以很輕松地完成這個(gè)教學(xué)。這說(shuō)明將解析幾何融入到線性代數(shù)的教學(xué)中單靠傳統(tǒng)教學(xué)方式是不夠的，教師要與時(shí)俱進(jìn)，掌握新技術(shù)、新方法，更有效地提高教學(xué)質(zhì)量。

2.4有效地將解析幾何與線性代數(shù)兩門(mén)課程合并

解析幾何與線性代數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，促使一些高校將兩門(mén)課程融為一門(mén)新課——線性代數(shù)與解析幾何。兩門(mén)課程合并成一門(mén)課，會(huì)帶來(lái)很多問(wèn)題。例如：如何安排知識(shí)點(diǎn)的先后順序；由于課時(shí)的限制，需要削減一部分教學(xué)內(nèi)容，那么削減哪些內(nèi)容；新課程是以線性代數(shù)為主還是以解析幾何為主；新課程與后繼課如何銜接等，這些問(wèn)題都有待于教師在教學(xué)實(shí)踐中積累經(jīng)驗(yàn)并加以解決。

本文從解析幾何的特點(diǎn)及其與線性代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，提出了將解析幾何融入到線性代數(shù)教學(xué)中的教學(xué)模式，并論證了這種教學(xué)模式對(duì)線性代數(shù)教學(xué)的重要作用。而線性代數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，因此在教學(xué)中，不要把目光僅僅放在解析幾何上，要多角度地展現(xiàn)線性代數(shù)，以使教學(xué)生動(dòng)而豐富多彩。

本文作者：王穎 單位：大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院