一、逆向思維的涵義、特點(diǎn)和表現(xiàn)

當(dāng)面臨一個(gè)問題時(shí),人們習(xí)慣的沿著事物發(fā)展的正方向去思考解決問題,殊不知,對(duì)于某些問題,尤其是一些特殊問題,讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展,從問題的相反面進(jìn)行深入的探索和研究,往往可以使問題變得簡(jiǎn)單,出奇制勝,這就是逆向思維所蘊(yùn)含的魅力,尤其是在數(shù)學(xué)解題中更是得到了淋漓盡致的展示。逆向思維在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)有以下幾點(diǎn):

1、表現(xiàn)逆向思維的數(shù)學(xué)知識(shí)——逆定理。定理是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分,但是光掌握定理的成立條件與內(nèi)容對(duì)于職業(yè)學(xué)校的學(xué)生來說是還是不夠的,如何去獲取新知識(shí)呢？可以說,獲取新知識(shí)最簡(jiǎn)單的方法莫過于學(xué)習(xí)逆定理。而這逆定理的“逆”與逆向思維的“逆”在這里就不謀而合了。

2、表現(xiàn)逆向思維的數(shù)學(xué)方法——反證法和排除法。對(duì)于證明題而言,很多時(shí)候在特定的場(chǎng)合找不到直接的證明來源,這時(shí)可以先提出與結(jié)論相反的假設(shè),然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā),合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾結(jié)果,由此斷定與結(jié)論相反的命題不成立,從而肯定原命題的正確性,這種證明方法就是反證法。而排除法顧名思義就是通過排除不符合題目的假設(shè),從而順利解決問題。這兩種方法都不同程度的表現(xiàn)了逆向思維的內(nèi)涵。

3、表現(xiàn)逆向思維的數(shù)學(xué)策略——正難則反。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生常會(huì)遇到各種各樣的難題。的確,有些數(shù)學(xué)題目用正向思維去解決,不僅比較困難、工作量大,而且容易出錯(cuò),這時(shí)候就需要從問題的相反方向入手,運(yùn)用逆向思維去重新認(rèn)識(shí)這個(gè)題目。這種“正難則反”的解題策略往往會(huì)產(chǎn)生出其不意的效果。例1:從8名男同學(xué)4名女同學(xué)中選3人參加朗誦比賽,至少有1名女生的選法有多少種？分析:這個(gè)題目如果從正面來考慮,至少有1名女生參加可分三類考慮,第一類恰有1名女生,第二類是恰有2名女生,第三類是有3名女生,討論起來復(fù)雜,這時(shí)候就需要用逆向思維解決這道題,至少有1名女生的對(duì)立面就是沒有1名是女生而全是男生,這時(shí)候問題就變得簡(jiǎn)單多了。解:2205616438312cc==

二、如何在職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育是以教師灌輸知識(shí)技能為主,往往缺乏對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練。因此,學(xué)生解決問題習(xí)慣于正向思維,但新課程背景下更注重發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維,培養(yǎng)創(chuàng)新精神,形成全方位、多角度思考問題的額體系,因此如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力就被置于一個(gè)更加重要的位置。

1、創(chuàng)設(shè)問題情境,促進(jìn)智力探索形成氛圍

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:數(shù)學(xué)教學(xué)必須要注意從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和感興趣的事物出發(fā),為他們提供參與的機(jī)會(huì),從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生親切感,尤其是面對(duì)低年級(jí)學(xué)生,我們更要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一些有趣的問題情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,從而引發(fā)學(xué)生的逆向思考。例如:在教學(xué)《二項(xiàng)式定理》這一節(jié)內(nèi)容時(shí),教師一開始就寫出2(a+b),這時(shí)候?qū)W生們都會(huì)寫出它的展開式,然后教師提出n(a+b)中這個(gè)n不管是多少我都可以知道它的展開式多少項(xiàng),分別是多少。這個(gè)時(shí)候?qū)W生就會(huì)提出疑問:為什么老師這么快就可以算出來呢,是不是有什么秘訣？這樣很自然的就引入了課題。

2、注重教學(xué)概念、定義的逆向性

定義是對(duì)一個(gè)名詞進(jìn)行說明,從而使得數(shù)學(xué)概念和語(yǔ)言緊密聯(lián)系起來,揭示出事物的本質(zhì)特征,而概念是反映對(duì)象特有屬性的思維模式,是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此,在教學(xué)中除了學(xué)生理解概念本身及常規(guī)應(yīng)用以外,還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從相反方向思考問題,從而加深對(duì)概念的理解和拓展,最終形成推理能力和計(jì)算的技能技巧。例如:在教學(xué)《奇函數(shù)定義及圖像》時(shí),首先講解奇函數(shù)的定義:對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域中任意一個(gè)x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。針對(duì)這個(gè)定義要求學(xué)生們理解:如果函數(shù)滿足f(x)=f(x),則函數(shù)為奇函數(shù),且函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱,而另一方面,如果一個(gè)函數(shù)的圖像時(shí)關(guān)于x軸對(duì)稱,則可說明這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)f(x)=f(x)這就是從定義、概念的反方向思考問題。

3、注重教學(xué)公式、運(yùn)算法則的逆向性

數(shù)學(xué)中的公式及運(yùn)算法則是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的最基本的部分,是解決其它數(shù)學(xué)問題的橋梁。因此,在講授公式及運(yùn)算法則的時(shí)候,教師要注意訓(xùn)練學(xué)生逆用公式、運(yùn)算法則的基本動(dòng)。講完后,要通過一些公式逆用的例子,以此加深學(xué)生們對(duì)公式、運(yùn)算法則的理解,給學(xué)生一個(gè)更為深刻的印象。例如:在教學(xué)《三角函數(shù)的倍角公式》這一節(jié)內(nèi)容時(shí)候,教師除了要講解cos2a=aaaa2222cossin=2cos1=12sin之后,必須從逆方向繼續(xù)講解這個(gè)公式,從而得到21cos2sin21cos2cos22aaaa=+=而,這兩個(gè)公式有著更為廣泛的運(yùn)用,在很多考察三角函數(shù)的題目中,常常利用它們作為橋梁,通過降冪的方法來解答三角函數(shù)的題目。

4、注重教學(xué)中定理的逆向性

定理是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分,是判斷是非、邏輯推理的依據(jù),是進(jìn)一步解決數(shù)學(xué)問題的銳利武器,只有熟練掌握定理的成立條件與內(nèi)容,才能產(chǎn)生正確的思考方法和形成簡(jiǎn)潔的解題技巧。要想熟練掌握定理,就必須從正反兩個(gè)方向去理解定理,雖然每個(gè)定理都有逆命題,但并不是每個(gè)逆定理都是成立的,經(jīng)過證明是成立的逆命題就成為逆定理。重視逆定理的運(yùn)用,不僅可以開拓學(xué)生的思維,還可以培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想品質(zhì)。例如:對(duì)于《勾股定理》大家都很熟悉定理內(nèi)容:如果直角三角形的兩個(gè)直角邊分別為a,b斜邊為c,則這個(gè)三角形的三條邊的邊長(zhǎng)滿足222a+b=c。這個(gè)定理的逆命題是,已知三角形的三條邊的邊長(zhǎng)滿足222a+b=c,則這個(gè)三角形就是直角三角形。通過證明我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)命題是成立的,那么這個(gè)命題就是勾股定理的逆定理。

三、結(jié)語(yǔ)

培養(yǎng)學(xué)生逆向思維可以讓學(xué)生的思維更加敏捷、靈活及深刻,使學(xué)生在遇到難題時(shí)積極主動(dòng)地去尋求新的解決途徑。這不僅能提高他們的實(shí)際解題能力,更重要的是能夠改善職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式,有助于他們形成良好的思維習(xí)慣,逐步形成創(chuàng)新思維,最終使得整個(gè)素質(zhì)得到很大程度的提高。

作者：徐冰 單位：淮安生物工程高等職業(yè)學(xué)校