基于GDOP的K階覆蓋雷達(dá)布站優(yōu)化

　　摘要：無源雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的探測(cè)和覆蓋性能依賴于接收站的幾何布局，因此對(duì)接收站位置進(jìn)行優(yōu)化是十分必要的。本文以目標(biāo)定位幾何精度因子(Geometrical Dilution Of Precision，GDOP)作為雷達(dá)目標(biāo)探測(cè)性能的衡量指標(biāo)，綜合考慮對(duì)探測(cè)目標(biāo)的覆蓋性能，建立了基于 GDOP 的 K 階覆蓋接收站位優(yōu)化模型。該模型要求在雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)探測(cè)區(qū)域，目標(biāo)至少被 K 種最小定位方式以較小的 GDOP 進(jìn)行定位，從而保證了雷達(dá)定位精度和覆蓋性能。本文提出了一種禁忌搜索-模擬退火 (Tabu Search-Simulated Annealing Algorithm，TSSA)算法對(duì)該模型進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，該算法能有效求解所提接收站優(yōu)化配置問題，并能保證所優(yōu)化配置的雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)同時(shí)具備較高的定位性能和覆蓋性能。

　　關(guān)鍵詞：K-覆蓋;禁忌搜索;模擬退火;優(yōu)化布站

　　李想; 洪升; 屈思宇; 趙志欣， 現(xiàn)代雷達(dá) 發(fā)表時(shí)間：2021-11-26

　　0 引 言

　　無源雷達(dá)[1-2]本身不發(fā)射電磁波，雷達(dá)接收站的位置部署對(duì)雷達(dá)探測(cè)性能有較大影響。雷達(dá)優(yōu)化布站問題是近年來的研究熱點(diǎn)[3]，其本質(zhì)是以雷達(dá)收發(fā)站位置為變量對(duì)雷達(dá)相關(guān)性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。接收站優(yōu)化布置過程中的評(píng)判指標(biāo)主要有兩類形式，一類是以探測(cè)性能為指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，如文獻(xiàn)[4]中以漏警概率作為接收站位置的函數(shù)，通過極小化探測(cè)區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)平均漏警概率對(duì)接收 站 位 置 進(jìn) 行 優(yōu) 化 。 文 獻(xiàn) [5] 以 最 小 化 (Geometrical Dilution Of Precision, GDOP)序列最小值和最大化有效監(jiān)控區(qū)，建立了多基地雷達(dá)布站優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[6]中提出了一種基于目標(biāo)信噪比歸一化的布站方法，克服了平均信噪比方法的缺陷，提高了雷達(dá)可探測(cè)范圍。另一類以覆蓋性能為指標(biāo)進(jìn)行布站優(yōu)化，文獻(xiàn)[7]考慮了離散目標(biāo)的覆蓋問題，其中覆蓋優(yōu)化問題被表述為 p 中心問題模型;并提出了一種隨機(jī) Voronoi 算法來求解。文獻(xiàn)[7-8]主要研究了 1 階覆蓋問題，即要求目標(biāo)至少被一個(gè)雷達(dá)單發(fā)單收對(duì)覆蓋，未曾考慮雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)探測(cè)區(qū)域的 K 階-覆蓋問題。

　　在已有文獻(xiàn)中，研究學(xué)者對(duì)無源雷達(dá)的接收站布置大多單獨(dú)以探測(cè)性能或覆蓋性能為指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，極少綜合考慮探測(cè)性能指標(biāo)和覆蓋性能指標(biāo)進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。本文基于 K 階覆蓋的原始涵義，對(duì) K 階覆蓋的概念進(jìn)行推廣，將目標(biāo)能被 K 種最小定位方式以較高的定位精度定位稱為 K 階覆蓋。以目標(biāo)定位精度為雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)探測(cè)性能指標(biāo)，以 K 階覆蓋為雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)覆蓋性能指標(biāo)，將兩者相結(jié)合，提出了基于目標(biāo)定位精度的 K 階覆蓋站位優(yōu)化問題。針對(duì)該問題，提出了一種禁忌搜索-模擬退火 (Tabu Search-Simulated Annealing Algorithm，TSSA)算法進(jìn)行求解。最后通過仿真驗(yàn)證了該方法在求解基于 GDOP 的 K-覆蓋布站優(yōu)化問題中的有效性。

　　1 信號(hào)模型

　　對(duì)于雙基地雷達(dá)系統(tǒng)，要實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的三維空間定位，最少需要三個(gè)距離和的測(cè)量值。因此，本文定義由三個(gè)距離和測(cè)量值對(duì)目標(biāo)進(jìn)行三維定位的方式為最小定位方式。最小定位方式可以有不同的選擇。這里，以 3 T-R 站型為最小定位方式進(jìn)行介紹，其他方式可類推。圖 1 給出了一個(gè)發(fā)射站和三個(gè)接收站構(gòu)成的 3 T-R 站型，假設(shè)輻射源 M 、目標(biāo) Target 以及接收站 S1、 2 S 、 3 S 的位置坐標(biāo)分別 為 m m m m ? , , ? T t ? x y z 、 ? , , ? T x ? x y z 、? , , , 1,2,3 ? T i i i i s ? ? x y z i ，目標(biāo)到輻射源及各個(gè)接收站的距離分別為 RMT 、RTS1 、RTS 2 、RTS3，輻射源到各個(gè)接收站的距離分別為 RMS1 、 RMS 2 、RMS 3， 1 ?t 、 2 ?t 、 3 ?t 分別為輻射源信號(hào)經(jīng)過目標(biāo)反射到接收站 S1、 2 S 、 3 S 與信號(hào)直接到達(dá)接收站 S1、 2 S 、 3 S 的到達(dá)時(shí)間差。

　　式(1)中， RMSi 通常為一個(gè)已知值。因此，式(1)描述了以目標(biāo)位置為未知變量的橢球方程。對(duì)于每個(gè) i ?t ，目標(biāo)位于以發(fā)射站和第 i 個(gè)接收站為焦點(diǎn)的橢球面上。目標(biāo)的最終位置由三個(gè)橢球面的交點(diǎn)確定。通過求解方程(1)即可得到目標(biāo)的坐標(biāo)。假設(shè)目標(biāo)的位置誤差為 [ , , ]T d dx dy dz x ? ，時(shí)差測(cè)量誤差為 1 2 3 [ , , ]T d d t d t d t ? ? ? ? ? t ，接收 站 S1 、 2 S 、 3 S 的 站 址 誤 差 為 1 1 1 1 [ , , ]T d dx dy dz s ? 、 2 2 2 2 [ , , ]T d dx dy dz s ? 、 3 3 3 3 [ , , ]T d dx dy dz s ?，輻射源 M 的站址誤差為 m m m m [ , , ]T d dx dy dz t ?，并且各測(cè)量誤差以及其誤差分量互不相關(guān)。對(duì)式(1)兩端求微分有：

　　2 優(yōu)化模型

　　2.1 K 階覆蓋

　　K 階覆蓋的實(shí)際意義在于區(qū)域的重點(diǎn)覆蓋。通常，警戒區(qū)域內(nèi)，只需一部雷達(dá)探測(cè)到目標(biāo)即可。而在重點(diǎn)防御區(qū)域內(nèi)，要求目標(biāo)能被至少 K 部雷達(dá)進(jìn)行有效探測(cè)，并且一般 K 大于 1。本文借鑒 K 階覆蓋的原始涵義，將 K 階覆蓋的概念進(jìn)行推廣：以目標(biāo)的定位精度為雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)探測(cè)性能指標(biāo)，以 K 階覆蓋為雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)覆蓋性能指標(biāo)，將兩者相結(jié)合，提出了基于目標(biāo)定位精度的 K 階覆蓋站位優(yōu)化問題。所提出的站位優(yōu)化模型，能夠保證重點(diǎn)防御區(qū)域能被至少 K 種最小定位方式以較高的目標(biāo)定位精度所覆蓋。

　　2.2 模型建立

　　假設(shè)有三個(gè)不同發(fā)射站和三個(gè)接收站對(duì)區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)進(jìn)行定位。為建立基于 GDOP 的 K 階覆蓋模型，本文將三個(gè)發(fā)射站三個(gè)接收站結(jié)構(gòu)，拆分為 3 個(gè) 3 T-R 站型的最小定位方式。每一個(gè) 3 T-R 站型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的三維定位，并可得到對(duì)應(yīng)的定位精度 GDOP 值。3 個(gè) 3 T-R 站型的定位可以得到 3 個(gè) GDOP 值。將重點(diǎn)防御區(qū)域進(jìn)行空間離散，每個(gè)離散位置都為目標(biāo)的潛在位置。假設(shè)共離散得到 I 個(gè)目標(biāo)位置。針對(duì)第 i ( i I ?1, 2, , )個(gè)離散目標(biāo)位置，可由 3 個(gè) 3 T-R 站型進(jìn)行定位，得到 3 個(gè) GDOP 值，將這 3 個(gè) GDOP 值，列寫一個(gè)向量里，可得 ,1 ,2 ,3 [ ] GDOP g g g i i i i ? ， ，，其中 i,1 g 、 i,2 g 、 i,3 g 分別為三個(gè) 3 T-R 站型對(duì)第 i 個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的定位精度 GDOP 值， i,1 g 、 i,2 g 、 i,3 g 詳細(xì)求解方法由式(11)給出。若目標(biāo)的定位精度 GDOP值小于某一門限值?，則認(rèn)為該目標(biāo)能被 3 T-R 站型高精度定位到。若第 i 個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的 GDOPi 中至少有 q 個(gè)GDOP值小于門限? ，則認(rèn)為第 i 個(gè)目標(biāo)能夠?qū)崿F(xiàn) q 階高精定位。假設(shè)三個(gè)發(fā)射站固定，建立 K 階覆蓋模型對(duì)三個(gè)接收站的位置進(jìn)行優(yōu)化。將第 i 個(gè)目 標(biāo) 位置的 定位精度值向量 ,1 ,2 ,3 [ ] GDOP g g g i i i i ? ， ，中第 K 小的值，稱為 K 階 GDOP 值，表示為 [ ] GDOP Ki 。對(duì)所有可能的接收站布站形式進(jìn)行搜索。在每種可能的接收站布站形式下，計(jì)算重點(diǎn)防御空間內(nèi)所有離散目標(biāo)位置的 [ ] GDOP Ki ，并將其相加，得到 1 [ ] I i i GDOP K ??。以 1 [ ] I i i GDOP K ??為目標(biāo)函數(shù)，可建立如下站位優(yōu)化模型：式(12a)為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化變量為接收站 S1、 2 S 、 3 S 位置坐標(biāo) ' ' ' ' ' , , , 1,2,3 T i i i i ? ? ? ? x y z i ? ? s 。式 (12b)中 i x 表示第 i 個(gè)離散目標(biāo)的三維坐標(biāo)，表示重點(diǎn)防御區(qū)域，也即本文對(duì)目標(biāo)的定位性能評(píng)估范圍。式(13a)中? x y z lb lb lb , , ?和? x y z ub ub ub , , ?規(guī)定了 中離散目標(biāo)位置的坐標(biāo)范圍。式(13b)中 表示接收站的布站區(qū)域,? ? ' ' ' lb lb lb x y z , , 和? ? ' ' ' ub ub ub x y z , , 規(guī)定了 中接收站位置的坐標(biāo)范圍。在本文中，可按需構(gòu)建 K ? 1, 2,3 階覆蓋模型。

　　3 模型求解

　　為求解模型(12)中的優(yōu)化問題，本文在禁忌搜索 (Tabu Search, TS)算法[9]和模擬退火 (Simulated Annealing, SA)算法[10]基礎(chǔ)上提出了一種全新的禁忌搜索退火算法 TSSA 算法。 TS 算法具有很強(qiáng)的全局搜索能力，引入禁忌表禁止重復(fù)前面的工作從而跳出局部最優(yōu)解。其優(yōu)點(diǎn)是有非常強(qiáng)的搜索能力，能夠以較少的迭代次數(shù)迅速得出最優(yōu)解的附近解，缺點(diǎn)是到中后期很難進(jìn)一步減小目標(biāo)函數(shù)值。SA 算法優(yōu)點(diǎn)是迭代中后期仍擁有較好的爬山能力，缺點(diǎn)是能否最終收斂對(duì)初始值的設(shè)定有一定的依賴。因此，為充分利用 TS 算法前期的搜索能力和 SA 算法后期的爬山能力，本文考慮提出全新的 TSSA 算法對(duì)問題進(jìn)行求解。 TSSA 算法利用 TS 算法的全局搜索能力以較少的迭代次數(shù)迅速得到最優(yōu)解附近的解，然后將 TS 算法的輸出解作為 SA 算法的初始解，再利用 SA 算法的爬山能力迅速收斂至全局最優(yōu)解。

　　4 仿真分析

　　假設(shè)仿真場(chǎng)景位于 x-y-z 坐標(biāo)系中，其中三個(gè)發(fā)射站的空間坐標(biāo)為 (57km,34km,0.1km)，(12km,-43km,0.1km)， (5km,1km,0.1km)。將重點(diǎn)防御區(qū)域定義為? ? ? ? ? { 200km , 200km, 15km} x y z ，將該區(qū)域 進(jìn)行空間離散化，離散分辨率為 5km，每個(gè)離散的空間位置為潛在目標(biāo)位置。接 收 站 的 可 布 置 范 圍 為? ? ? ? ? { 30km , 30km, 0.01km} x y z 。利用所提出的 TSSA 算法對(duì)上文模型 (12)進(jìn)行求解。為驗(yàn)證所提算法的優(yōu)越性，將 TS 算法和 SA 算法作為對(duì)比算法。三種算法中的具體參數(shù)如表 1 所示。表 1 中，T0 為退火初始溫度，T_end 為退火終止溫度，Tubesize 為禁忌表長(zhǎng)度，a 為降火衰減參數(shù)，Nbhd 為領(lǐng)域解個(gè)數(shù)，maxgen 為最大迭代次數(shù)。

　　4.1 算法收斂性能分析

　　為對(duì)不同算法的收斂性能進(jìn)行分析，圖 3 給出了不同算法在相同初始值下求解 K 階覆蓋站位優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)值與迭代次數(shù)之間的關(guān)系曲線。將圖中不同算法的求解迭代過程進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn) SA 算法始終保持下降趨勢(shì)，但迭代結(jié)束陷入局部最優(yōu)解，TS 算法和 TSSA 算法收斂速度較快，TSSA 算法的最優(yōu)解優(yōu)于 TS 算法的最優(yōu)解。通過比較可知，TSSA 算法可求得最小的目標(biāo)函數(shù)值，并且算法收斂速度快，效果更好。

　　4.2 算法優(yōu)化性能對(duì)比

　　為評(píng)估不同算法求解站位優(yōu)化問題的最終優(yōu)化性能，采用兩種性能指標(biāo)：優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)值和 q ? 2 階高精定位覆蓋率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。表 2 給出了 K ? 2 階覆蓋站位優(yōu)化模型下，不同算法的優(yōu)化性能。其中 q 階高精定位覆蓋率的計(jì)算公式為： length find ? ? ? ? ?? q 100% q p I ? ?? ? α (14) 其 中 ， 高 精 定 位 覆 蓋 率 計(jì) 算 門限為? ? 1.2km ;? ? I 1 q ? α ?是由所有 I 個(gè)目標(biāo)的 q 階 GDOP 值構(gòu)成的一個(gè)列矢量，即α q GDOP q GDOP q GDOP q (15) 式(15)中 GDOP q i? ?為 ,1 ,2 ,3 [ , , ] GDOP g g g i i i i ?中第 q 小的元素，函數(shù) find?α ? b?為返回向量 α 中小于門限值 b 的所有元素，函數(shù) length find( ) ? α ? b ?為返回向量 α 中小于門限值 b 的元素個(gè)數(shù)。

　　表 2 中，對(duì)比不同算法優(yōu)化后目標(biāo)函數(shù)值，可發(fā)現(xiàn)，TSSA 算法的目標(biāo)函數(shù)值為三種算法優(yōu)化后目標(biāo)函數(shù)的最小值。由此可知，本文所提出的 TSSA算法擁有最強(qiáng)的全局最優(yōu)解搜索能力。對(duì)比不同算法優(yōu)化后的覆蓋率，發(fā)現(xiàn) TSSA 算法的 q ? 2 階高精定位覆蓋率為 95.94%，遠(yuǎn)高于其他兩種對(duì)比算法。由此可知，本文所提出的 TSSA 算法能更有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)重點(diǎn)防御區(qū)域的 q ? 2 階高精度覆蓋。因此，根據(jù)不同算法在兩個(gè)性能指標(biāo)上的對(duì)比，可知所提的 TSSA 算法明顯優(yōu)于對(duì)比算法。

　　4.3 算法穩(wěn)定性分析

　　為了驗(yàn)證算法的穩(wěn)定性，在 K ? 2 階覆蓋站位優(yōu)化模型下，進(jìn)行了 100 次蒙特卡羅 (Monte-Carlo, MC)仿真，每一次 MC 仿真中初始接收站位置是隨機(jī)生成的。 圖 4 給出了不同算法優(yōu)化后在不同次 MC 仿真下的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。圖 4 中，SA 算法波動(dòng)最大，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值分布不均勻;TS 算法和 TSSA 算法有著相對(duì)穩(wěn)定的最優(yōu)值分布，且 TSSA 算法求得的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值總體要優(yōu)于 TS 算法求得的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值。將圖 4 中不同算法的 100 次 MC 仿真最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值和 q ? 2 階高精定位覆蓋率進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表 3 所示。由表 3 可知，TSSA 的最優(yōu)函數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差最小為 191.69，SA 為 780.75，說明 TSSA 算法擁有最高的穩(wěn)定性，SA 的穩(wěn)定性最差。根據(jù)不同 MC 仿真下，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值及 q 階高精定位覆蓋的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，可知 TSSA 算法的穩(wěn)定性能均優(yōu)于其他對(duì)比算法。

　　4.4 算法覆蓋性能分析

　　分別針對(duì) K ?1、 K ? 2、 K ? 3 階覆蓋站位優(yōu)化模型進(jìn)行站位優(yōu)化。在每種站位優(yōu)化模型優(yōu)化結(jié)果下的目標(biāo)高精度覆蓋性能可由 q 階高精定位GDOP等高圖和 q 階高精定位覆蓋率描述。基于 K 階覆蓋站位優(yōu)化模型下優(yōu)化求解出的接收站位置，可計(jì)算重點(diǎn)防御區(qū)域內(nèi)所有目標(biāo)位置的 q 階 GDOP 值 GDOP q i? ? ， i I ? 1, 2, , ，從而得到重點(diǎn)防御區(qū)域內(nèi)目標(biāo)的 q 階高精定位 GDOP 分布圖，對(duì)應(yīng)地，可得該 q 階 GDOP 分布圖對(duì)應(yīng)的等高線圖。在 q 階高精定位 GDOP 分布圖中，進(jìn)一步統(tǒng)計(jì) I 個(gè)目標(biāo)中，GDOP 值小于門限值?的目標(biāo)個(gè)數(shù)，按照式(15)可計(jì)算 q 階高精定位覆蓋率 q p 。圖 5、6、7 給出的高精定位 GDOP 等高圖分別是利用 K ?1、 K ? 2、 K ? 3 階覆蓋站位優(yōu)化模型下求解得到的接收站位置進(jìn)行計(jì)算得到。其中的子圖(a)、(b)、(c)分別對(duì)應(yīng)著 q ? 1、q ? 2、q ? 3 階高精定位 GDOP 等高圖。

　　在 q 階高精定位 GDOP 等高圖中，每個(gè)目標(biāo)位處的 GDOP 值對(duì)應(yīng)著 GDOPi 中第 q 小的值 [ ] GDOP qi 。對(duì)應(yīng)地，有 [ ] [ [ 1 3 2] ] GDOP GDOP GDOP i i i ? ?成立。因此，將相同階覆蓋站位優(yōu)化模型下的圖(a)、圖(b) 和圖(c)進(jìn)行比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)目標(biāo)位置對(duì)應(yīng)的 GDOP 值是逐漸增大的。如果進(jìn)一步在圖 (a)基礎(chǔ)上統(tǒng)計(jì) 1 階高精定位覆蓋率 P1 ，在圖 (b)基礎(chǔ)上統(tǒng)計(jì) 2 階高精定位覆蓋率 P2 ，在圖 (c)基礎(chǔ)上統(tǒng)計(jì) 3 階高精定位覆蓋率 P3 ，會(huì)有 P P P 1 2 3 ? ?，即目標(biāo)的 q 階高精定位覆蓋率隨著 q 增大而減小。分別針對(duì)不同 K 階覆蓋站位優(yōu)化模型下的圖(a)、(b)、(c)統(tǒng)計(jì) q ? 1、q ? 2、q ? 3 階高精定位覆蓋率，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表 4 所示。表 4 展示了 K ? 1, 2,3 階覆蓋站位優(yōu)化模型下的 q ? 1,2,3 階高精定位覆蓋率。由表 4 可知，相同階覆蓋站位優(yōu)化模型下，即表 4 的每行元素，目標(biāo)的 q 階高精定位覆蓋率隨著 q 增大而減小，這和上文的分析是一致的。這意味著， q 值越小，被高精度定位的目標(biāo)個(gè)數(shù)增多，也即目標(biāo)的高精度覆蓋性能就越好。

　　相同的 q 階高精定位覆蓋率下，即表 4 的每列元素中，對(duì)角線上元素是最大的。比如，第一列為統(tǒng)計(jì) q ? 1 階高精定位覆蓋率，此時(shí)， K ?1 階覆蓋站位優(yōu)化模型下的高精定位覆蓋率為 100%，較 K ? 2 和 K ? 3 階模型下的高精定位覆蓋率分別提高了 0.57%和 1.22%。第二列和第三列亦有著類似的結(jié)果。這意味著，K 階覆蓋站位優(yōu)化模型嚴(yán)格保證了 q K?階高精定位覆蓋率達(dá)到最優(yōu);而其他階覆蓋率不能達(dá)到最優(yōu)。改變門限精度進(jìn)行仿真，該結(jié)論仍然成立。

　　5 結(jié)束語

　　本文提出了一種基于 GDOP 的 K-覆蓋優(yōu)化問題，通過最小化所有目標(biāo) K 階 GDOP 值之和來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，建立布站優(yōu)化模型。然后，提出了一種 TSSA 算法對(duì)提出的優(yōu)化問題進(jìn)行求解。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性和優(yōu)越性。