高等數(shù)學(xué)作為高等學(xué)校一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科、一門各學(xué)科都要使用的精確的科學(xué)語言,對學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)及思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著重要的作用[1]。但由于高等數(shù)學(xué)十分抽象,長期以來對于該課程的學(xué)習(xí),學(xué)生普遍感到非常困難。數(shù)學(xué)教育的重點是要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的理論方法解決實際問題的能力,但傳統(tǒng)的教學(xué)模式比較注重理論性的學(xué)習(xí),缺乏實踐的動手操作能力的訓(xùn)練,無法讓學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)理論和方法用于實際的問題中,甚至不知道這些理論有什么用。

Mathematica是一種數(shù)學(xué)分析型的軟件,以符號計算見長,也具有高精度的數(shù)值計算功能和強(qiáng)大的圖形功能。

它將計算、可視化、程序設(shè)計融合到一個簡單易用的交互式工作環(huán)境中。據(jù)wolfram公司聲稱,僅在美國就有十幾萬人在使用該軟件解決、研究和計算工程等領(lǐng)域的大量問題。

為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、實踐能力和創(chuàng)新能力,開設(shè)數(shù)學(xué)實驗就顯得非常有必要,而Mathematica是數(shù)學(xué)實驗最常用的軟件之一。

1　Mathematica在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用

Mathematica軟件功能齊全、輸入簡潔、運(yùn)算快、精度高,是機(jī)械工業(yè)部推薦的工程應(yīng)用軟件。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中借助Mathematica軟件有助于學(xué)生更加直觀地理解高等數(shù)學(xué)中的抽象概念、空間幾何圖形,并且有助于學(xué)生在今后工程設(shè)計、生產(chǎn)管理、經(jīng)濟(jì)金融中解決計算問題。

基于Mathematica軟件的高等數(shù)學(xué)實驗課的開設(shè),可以培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力,基于Mathematica的基本操作,可以幫助學(xué)生在實踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新。

1.1符號運(yùn)算的應(yīng)用

計算函數(shù)的極限、一元和多元函數(shù)的微積分、不定積分、傅立葉級數(shù)等是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,但在這以前,計算機(jī)只能作數(shù)值計算,不能作符號運(yùn)算。

第一,高等數(shù)學(xué)中的許多概念、定理之間存在著本質(zhì)的聯(lián)系,通過這些概念、定理的實際應(yīng)用,可以加深對知識的理解。

例如,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方面,我們常用來判斷一個函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性。而借助Mathematica軟件的符號運(yùn)算,我們通過幾條簡單的命令就能夠?qū)崿F(xiàn)判斷函數(shù)單調(diào)性和凹凸性,使學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)理論的同時,又能簡單、迅速地計算出復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果。

例1　判斷函數(shù)y=2x3-6x2-18x+7的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。

我們知道,在高等數(shù)學(xué)中,通過函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的符號可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,二階導(dǎo)數(shù)的符號可以判斷函數(shù)的凹凸性。根據(jù)這個原理,我們利用Mathematica求函數(shù)導(dǎo)數(shù)、求不等式的系統(tǒng)函數(shù)D[],InequalitySolve[]來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。

第二,隱函數(shù)的顯化有時是困難的,甚至是不可能的。但在實際問題中,有時需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因此,我們希望有一種方法,不管隱函數(shù)能否顯化,都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來。雖然Mathematica并沒有直接提供隱函數(shù)求導(dǎo)的內(nèi)部函數(shù),但我們可以根據(jù)求函數(shù)的微分、解方程或方程組的內(nèi)部函數(shù)Dt[],Solve[]來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1.2繪圖功能的應(yīng)用

Mathematica軟件可以利用多種格式繪出函數(shù)的平面、立體圖像,使抽象的概念可視化。在高等數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容都比較抽象,學(xué)生理解起來比較困難。而借助直觀的幾何圖形,可以幫助學(xué)生建立起空間概念,準(zhǔn)確的了解抽象的概念,使高等數(shù)學(xué)的教學(xué)變得更加形象生動。

第一,平面圖像。

對于前面所述函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性,我們可以繪出函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)來更加直觀的了解函數(shù)的幾何特性。

高等數(shù)學(xué)中定積分的一個重要應(yīng)用就是求平面區(qū)域的面積。一般過程是首先解方程組得兩曲線的交點坐標(biāo),由此確定積分的上下限;其次作圖觀察;最后判斷區(qū)域類型,以選擇積分變量。

第二,立體圖像。

Mathematica可以繪制三維空間的幾何圖形,以便于學(xué)生理解空間的概念。不僅能夠進(jìn)行一般曲面作圖,而且可以繪制參數(shù)曲線、參數(shù)曲面。

2　教學(xué)中對Mathematica應(yīng)注意的問題

雖然將Mathematica應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中有著積極的意義,通過Mathematica的高等數(shù)學(xué)實驗,學(xué)生能在理解、掌握數(shù)學(xué)理論知識的同時,又能簡單、迅速地計算出復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果,而不必考慮實現(xiàn)的過程,有助于提高非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生利用數(shù)學(xué)求解實際問題的能力。但是在使用Mathematica軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗的過程中還有一些問題需要注意:

2.1　在實驗教學(xué)中提高學(xué)生的實踐能力

數(shù)學(xué)實驗不僅僅要教會學(xué)生如何利用數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行計算、畫圖,實驗教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是訓(xùn)練學(xué)生將實際問題和數(shù)學(xué)聯(lián)系起來,讓學(xué)生根據(jù)實驗的目的分析問題,根據(jù)問題中的已知條件和要求的結(jié)果,歸納數(shù)學(xué)規(guī)律,然后在獨自思考的基礎(chǔ)上,提出分析問題、解決問題的方法,制定實驗的方案。

2.2　在實驗教學(xué)中提高學(xué)生的創(chuàng)新精神

在數(shù)學(xué)實驗的綜合性實驗中,大多問題是沒有現(xiàn)成的答案,沒有現(xiàn)成的模式的,要靠學(xué)生充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性去分析問題,而如何去解決這個問題,同樣要求學(xué)生充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性。通過數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,使得學(xué)生將理論與實踐有機(jī)結(jié)合起來,使學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新能力都得到培養(yǎng)和提高。

2.3　加強(qiáng)實驗教學(xué)與理論教學(xué)的聯(lián)系

我們開設(shè)基于Mathematica軟件的數(shù)學(xué)實驗,決不是要降低對高等數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的要求,而是要求學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)理論知識的同時,加強(qiáng)將理論知識與實際問題的聯(lián)系。要培養(yǎng)學(xué)生理論與實踐相結(jié)合,運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識和方法來解決實際問題的能力,開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)就是將所學(xué)的知識應(yīng)用于實際問題。